차수 n의 다항식의 판별을위한 일반 공식은 무엇입니까?

대답:

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설명:

다항식의 판별 자 #f (x) # 학위 #엔# 실베스터 행렬의 행렬식의 항으로 기술 될 수있다. #f (x) # 과 #f '(x) # 다음과 같이

주어진:

(n-1) + … + a_1x + a_0 # a (n-1)

우리는:

(n-1) x (n-1) + … + a_1 # (n-1)

실베스터 행렬 #f (x) # 과 #f '(x) # ~이다. # (2n-1) xx (2n-1) # 행렬은 다음의 예와 비슷한 계수를 사용하여 형성됩니다. # n = 4 # …

# ((0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0), (a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, (0,4, 3a_3,2a_2, a_1, 0, 0), 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

그런 다음 판별 자 #델타# 식은 실베스터 행렬의 행렬식으로 주어진다.

# 델타 = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

에 대한 # n = 2 # 우리는:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(당신은 더 많은 것을 인식 할 수있는 형태로 #Delta = b ^ 2-4ac #)

에 대한 # n = 3 # 우리는:

(0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3,2a_2, a_1, 0, 0), (0, 3a_3 (a_3, a_2, a_0,, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

#color (흰색) (델타) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

2 차 (quadratics)에 대한 판별 자# n = 2 #) 및 입방체 (# n = 3 #)는 다항식이 가지고있는 실제, 반복 또는 실제가 아닌 복잡한 제로의 수를 정확하게 알려주는 점에서 가장 유용합니다.

고차 다항식에 대한 판별 해석은보다 제한적이지만, 판별자가 0 인 경우에만 다항식에 0을 반복한다는 특성을 항상 가지고 있습니다.

#color (흰색) () #

추가 읽기

www2.math.uu.se/~svante/papers/sjN5.pdf를 참조하십시오.