대답:
비합리적인 번호이며 따라서 현실입니다.
설명:
우리가 먼저 증명해 보겠습니다. #sqrt (21) # 실수입니다. 사실 모든 양의 실수의 제곱근은 실제 값입니다. 만약 #엑스# 실수 인 경우 양수에 대해 정의합니다. #sqrt (x) = "sup"{yinRR: y ^ 2 <= x} #. 이것은 우리가 모든 실수를 본다는 것을 의미합니다. #와이# 그렇게 # y ^ 2 <= x # 이 모든 것보다 더 큰 가장 작은 실수를 취하십시오. #와이#'supremum'이라고 불리는 것. 음수의 경우 #와이#모든 실수에 대해이 수의 제곱을 정하면 양수가되고 모든 양수가 음수보다 커지기 때문에 존재하지 않습니다.
모든 양수에 대해 항상 #와이# 조건에 맞는 # y ^ 2 <= x #, 즉 #0#. 또한,이 수에 대한 상한이 있습니다. 즉 # x + 1 #, 이후 if # 0 <= y <1 #, 그 다음에 # x + 1> y #, 만약 #y> = 1 #, 그 다음에 #y <= y ^ 2 <= x #, 그래서 # x + 1> y #. 우리는 각 한정된 비어 있지 않은 실수의 집합에 대해, 소위 완전성으로 인해 항상 최고의 역할을하는 유일한 실수가 있음을 보여줄 수 있습니다. # RR #. 따라서 모든 양의 실수에 대해 #엑스# 진짜가있다. #sqrt (x) #. 우리는 또한이 경우에 #sqrt (x) ^ 2 = x #,하지만 네가 나를 원한다면, 나는 이것을 여기에서 증명하지 않을 것이다. 마지막으로 우리는 #sqrt (x)> = 0 #이후 #0# 앞에서 설명한 것처럼 조건에 맞는 숫자입니다.
이제 비합리적인 #sqrt (21) #. 비 합리적이지 않은 경우 (합리적인 경우), 우리는 다음과 같이 작성할 수 있습니다. #sqrt (21) = a / b # 와 #에이# 과 #비# 정수 및 # a / b # 가능한 한 단순화하여 #에이# 과 #비# 를 제외하고는 공통 제수가 없다. #1#. 이제는 # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.
이제 우리는 자연수의 소수 분해 (prime factorization)라고 불리는 것을 사용합니다. 즉, 각 양의 정수를 소수의 고유 한 곱으로 쓸 수 있음을 의미합니다. 에 대한 #21# 이것은 #3*7# 그리고 #에이# 과 #비# 이것은 소수의 임의의 곱이다. # a = a_1 * … * a_n # 과 # b = b_1 * … * b_m #. 사실의 유일한 공약 #에이# 과 #비# ~이다. #1# 사실은 #에이# 과 #비# 그들의 인수 분해에 소수를 공유하지 않기 때문에 #일체 포함# 과 # b_j # 그렇게 # a_i = b_j #. 이것은 # a ^ 2 # 과 # b ^ 2 # 또한 소수를 공유하지 않는다. # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # 과 # b ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #따라서,의 유일한 공통 제수 # a ^ 2 # 과 # b ^ 2 # ~이다. #1#. 이후 # a ^ 2 = 21b ^ 2 #, 이것은 # b ^ 2 = 1 #, 그래서 # b = 1 #. 따라서 #sqrt (21) = a #. 이것은 단지 다음과 같은 가정 하에서 만 가능합니다. #sqrt (21) # 이성적이다.
이제 우리는 물론 모든 전체 양수를 따라갈 수 있습니다. #21# 그들을 제곱하는지 확인하십시오. #21#, 그러나 이것은 지루한 방법입니다. 더 재미있는 방법으로 그것을하기 위해, 우리는 다시 우리의 소수로 돌아 간다. 우리는 그것을 알고있다. # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # 과 #21=3*7#, 그래서 # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n #. 왼쪽에서 모든 소수는 한 번만 발생하고 오른쪽에서는 모든 소수가 적어도 두 번 발생하며 항상 일정한 시간 동안 발생합니다 (if # a_1 = a_n # 그것은 instace 적어도 4 번 발생합니다). 그러나 우리가 말했듯이, 이러한 주요 인수 분해는 유일하기 때문에 옳지 않습니다. 따라서 # 21nea ^ 2 #, 그래서 #anesqrt (21) #, 우리의 초기 가정은 다음과 같다. #sqrt (21) # 이성적인 것은 틀린 것으로 밝혀진다. #sqrt (21) # 비이성적이다.
양의 정수에 대해 동일한 인수가 유지됩니다. #엑스# 소수의 하나가 항상 균등하지 않은 횟수만큼 나타납니다. 왜냐하면 정수의 제곱은 항상 주요 요소가 모두 균등 해지기 때문입니다. 이것으로부터 우리는 결론을 내린다. #엑스# 양의 정수 (#x inNN #)에는 고르지 않은 양의 시간 만 발생하는 주요 요인이 있습니다. #sqrt (x) # 비합리적인 것입니다.
나는이 증명이 조금 길어 보일지 모른다는 것을 알고 있지만, 중요한 개념은 수학을 사용합니다. 아마도 고등학교 커리큘럼에서 이런 종류의 추론은 포함되지 않습니다. (나는 100 % 확신 할 수는 없지만 전 세계의 각 고등학교 커리큘럼을 알지 못합니다.) 실제 수학자의 경우 입증 된 내용은 그들이하는 가장 중요한 활동. 그래서 나는 사물의 제곱근을 취하는 뒤에 어떤 종류의 수학이 나오는지 보여주고 싶었습니다. 이걸 벗어 버릴 필요가있는 것이 실제로 그 것입니다. #sqrt (21) # 비합리적인 번호입니다.
