대답:
접선은 #엑스# 기울기가 # dy / dx #)는 0이고 그것은 #와이# (다시, # dy / dx #) 로 이동 # oo # 또는 # -oo #
설명:
우리는 # dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2ydy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
지금, # dy / dx = 0 # 누 미스터가 #0#, 이것도 분모가되지 않는다면 #0#.
# 2x + y = 0 # 언제 #y = -2x #
이제 두 개의 방정식이 있습니다.
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
해결 (대체하여)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
사용 #y = -2x #, 우리는 얻는다.
곡선에 대한 접선은 두 점에서 수평입니다.
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # 과 # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(이 쌍이 분모의 분모가되지 않도록 관찰하십시오. # dy / dx # 동일 #0#)
탄젠트가 수직 인 점을 찾으려면,의 분모를 # dy / dx # 동등한 tpo #0# (분자도 만들지 않고 #0#).
우리는 해답을 얻을 수 있지만 우리가 얻을 수있는 방정식의 대칭은 다음과 같습니다.
# x = -2y #, 그래서
#y = + - sqrt21 / 3 #
접선이 수직 인 곡선의 점은 다음과 같습니다.
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # 과 # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
그건 그렇고. 우리가 기술을 가지고 있기 때문에, 여기이 회전 된 타원의 그래프가 있습니다: (# + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528 # 그래프에서 볼 수 있습니다.)
그래프 {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11.3, 11.2, -5.665, 5.585}
대답:
중학교 수학 만 사용하면됩니다.
x 축에 평행 한 접선은 다음과 같습니다.
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) 및 (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}
y 축에 평행 한 접선은 다음과 같습니다.
# (-2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) 및 (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
설명:
나는 짐의 대답을 훑어 보았다. 그것은 훌륭한 표준 결핵 치료처럼 보였다. 그러나 나는 대수 곡선의 탄젠트를 찾고 싶어하지만 아직 미적분학에서 몇 년 떨어져있는 소크라테스 땅의 모든 중학교 운동가들에게 슬프다 고 느끼지 않을 수 없습니다.
다행히도 그들은 대수 I 만 사용하여 이러한 문제를 해결할 수 있습니다.
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
첫 번째 예제에서는 약간 복잡 할 수도 있지만 함께 시도해 보겠습니다. 우리는 곡선을 다음과 같이 씁니다. #f (x, y) = 0 # 어디에
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
해 보자 # (r, s) # 요점으로 #에프#. 조사하고 싶다. #에프# 가까운 # (r, s) # 그래서 우리는
# (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)
(s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 # (r + (x-r)) ^ 2 +
우리는 확장하지만 차이점을 확장하지 않습니다. # x-r # 과 # y-s #. 우리는 그것들을 그대로 유지하여 나중에 제거 할 수있는 실험을 할 수 있습니다.
(xs) + (xs) + rs + 2s (xr) + 2r (xr) ys) + (ys) ^ 2-7 #
(xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) ys) #
2 + (x-r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r)
우리가 말했다 # (r, s) # 에있다 #에프# 그래서 #f (r, s) = 0 #.
(x-r) (y-s) # 2 (y-s) ^ 2 + (x-r)
우리는 용어를 학위에 따라 분류했으며, 다음과 같은 근사치를 실험 할 수 있습니다. #에프# 가까운 # (r, s) # 더 높은 정도를 떨어 뜨려서. 아이디어는 # (x, y) # 근처에있다 # (r, s) # 그때 # x-r # 과 # y-s # 그들의 사각형과 제품은 여전히 작습니다.
근사치를 생성 해 봅시다. #에프#. 이후 # (r, s) # 곡선에있을 때, 상수 근사법은 모든 차분 항을 떨어 뜨린다.
# f_0 (x, y) = 0 #
그다지 흥미롭지는 않지만, 그것은 정확하게 우리에게 가까운 지점을 알려줍니다. # (r, s) # ~에 가까운 값을 줄 것이다. #에프#.
더 흥미 진진하게 선형 용어를 유지합시다.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
이 값을 0으로 설정하면 다음과 같은 최상의 선형 근사를 얻을 수 있습니다. #에프# 가까운 # (r, s), # 어느 것이 접선 에 #에프# …에서 # (r, s). # 이제 우리는 어딘가로 가고 있습니다.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
다른 근사도 고려할 수 있습니다.
(x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
(x-r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r)
이것들은 고등 탄젠트 (high order tangents)이며, 대학 수학 학생들이 거의 접할 수없는 것들입니다. 우리는 이미 대학 미적분학을 뛰어 넘었습니다.
더 많은 근사값이 있지만 이것은 오래 가지 못한다는 경고를 받고 있습니다. 이제 대수 I 만 사용하여 미적분을 수행하는 방법을 배웠으므로 문제를 해결해 보겠습니다.
우리는 접선이 점선과 평행 한 점을 찾고 싶습니다. #엑스# 축 및 #와이# 중심선.
우리는 접선이 # (r, s) # ~이다.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
병렬 #엑스# 축은 방정식을 의미한다. #y = 텍스트 {상수} #. 따라서 #엑스# 0이어야합니다.
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (r, s) # 너무 커브에있다. #f (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
이후 # s = -2r # 포인트는
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) 및 (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}
Y 축과 유사하게 # 2s + r = 0 # 문제의 대칭성 때문에 x와 y를 바꿔야합니다. 그래서 다른 점은
# (-2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) 및 (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
검사.
확인하는 방법? Alpha plot을 해봅시다.
x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3} }
좋아 보인다. 대수학 곡선에 미적분. 중학교에 아주 좋습니다.
