# Q.1 # 만약 # 알파, 베타 # 방정식의 근원이다. # x ^ 2-2x + 3 = 0 # 뿌리가있는 방정식을 얻는다. # 알파 ^ 3-3 알파 ^ 2 + 5 알파 -2 # 과 # beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5 #?
대답
주어진 방정식 # x ^ 2-2x + 3 = 0 #
# => x = (2 ^ 2-4 * 1 * 3)) / 2 = 1pmsqrt2i #
방해 # 알파 = 1 + sqrt2i 및 베타 = 1-sqrt2i #
이제하자.
# 감마 = 알파 ^ 3-3 알파 ^ 2 + 5 알파 -2 #
# => gamma = alpha ^ 3-3 alpha ^ 2 + 3 alpha -1 + 2alpha-1 #
# => 감마 = (알파 -1) ^ 3 + 알파 -1 + 알파 #
# => 감마 = (sqrt2i) ^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i #
# => 감마 = -2sqrt2i + sqrt2i + 1 + sqrt2i = 1 #
그리고
# 델타 = 베타 ^ 3 - 베타 ^ 2 + 베타 + 5 #
# => 델타 = 베타 ^ 2 (베타 -1) + 베타 +5 #
# => 델타 = (1-sqrt2i) ^ 2 (-sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #
# => delta = (- 1-2sqrt2i) (- sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #
# => 델타 = sqrt2i-4 + 1-sqrt2i + 5 = 2 #
그래서 뿌리가있는 이차 방정식 # 감마와 델타 # ~이다.
# x ^ 2- (감마 + 델타) x + 감마 델타 = 0 #
# => x ^ 2- (1 + 2) x + 1 * 2 = 0 #
# => x ^ 2-3x + 2 = 0 #
# Q.2 # 방정식의 한 근 # ax ^ 2 + bx + c = 0 # 다른 쪽의 제곱이 되라.
증명할 수있는 # b ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3abc #
한 뿌리가되게해라. # 알파 # 다른 루트는 # alpha ^ 2 #
그래서 # alpha ^ 2 + alpha = -b / a #
과
# 알파 ^ 3 = c / a #
# => 알파 ^ 3-1 = c / a-1 #
(α-1) = (α-2 + α + 1) = c / a-1 = (c-a) / a #
(α-1) (- b / a + 1) = (c-a) / a #
(α-1) ((a-b) / a) = (c-a) / a #
# (α-1) = (c-a) / (a-b) #
α = (c-a) / (a-b) + 1 = (c-b) / (a-b) #
지금 #alpha # 이차 방정식의 근본 중 하나이다. # ax ^ 2 + bx + c = 0 # 우리는 쓸 수있다
# aalpha ^ 2 + balpha + c = 0 #
(c-b) / (a-b)) + c = 0 #
(a-b) + c (a-b) ^ 2 = 0 # (a-b)
# => ac ^ 2-2abc + ab ^ 2 + abc-ab ^ 2-b ^ 2c + b ^ 3 + ca ^ 2-2abc + b ^ 2c = 0 #
# => b ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3abc #
입증 된
대안
# aalpha ^ 2 + balpha + c = 0 #
# => aalpha + b + c / alpha = 0 #
(c / a) ^ (1/3) + b + c / ((c / a) ^ (1/3)) = 0 #
(1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3) = - b #
(3/3) ^ 3 = (- b) ^ 3 # (2/3)
(3/3) ^ 3 + 3c ^ (1/3) a ^ (2/3) a ^ (2/3) (2/3) a × (1/3) a × (2/3) × c × (2/3) a × (1/3) = (- b) ^ 3 #
# => ca ^ 2 + c ^ 2a + 3ca (-b) = (- b) ^ 3 #
# => b ^ 3 + ca ^ 2 + c ^ 2a = 3abc #
