1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2의 antiderivate는 무엇입니까?

대답:

# 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

설명:

그래서 여기에 우리는 integral을가집니다.

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

그리고 2 차 역수의 형태는 삼각 함수 대체가 여기서 작동 할 것이라고 제안하는 것 같습니다. 따라서 먼저 사각형을 완성하여 다음을 얻으십시오.

# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #

그런 다음 대체를 적용하십시오. #u = x-1 # 선형을 제거하려면:

# (du) / dx = 1 #

#rArr du = dx #

따라서 우리는 원하지 않는 부작용없이 변수를 안전하게 변경할 수 있습니다.

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 +1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

자, 이것은 삼각법 치환을 실행하기위한 이상적인 형식입니다. # u ^ 2 + 1 # 피타고라스의 정체성을 제안하다. # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #, 그래서 우리는 치환을 적용한다. #u = tantheta # 분모를 단순화하기 위해:

# (du) / (dθ) = sec ^ 2 theta #

#rArr du = sec ^ 2 theta dta #

따라서 적분은 다음과 같습니다.

#int 1 / (sec ^ 2 세타) ^ 2 * sec ^ 2 시타 #

# = int 1 / (sec ^ 2 세타) d 세타 #

# - = int cos ^ 2 theta d theta #

이제 우리는 두 배 각도 공식을 사용합니다. #코사인# 이 antiderivative을 더 다루기 쉽게 만들기 위해:

#cos (2theta) = 2cos ^ 2 세타 -1 #

#hArr cos ^ 2 theta = 1 / 2 (cos (2θ) + 1) #

그런 다음이를 통합합니다.

# 1 / 2 int cos (2 θ) + 1 d θ

# = 1 / 2 (theta + 1 / 2sin (2θ)) + c # (그리고 이것을 다시 더블 앵글 수식으로 #죄#)

# = 1 / 2 theta + 1 / 2sinthetacostheta + c #

지금, # x-1 = u = tan theta #

#rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = sec ^ 2 theta #

#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #

#sin theta = tan theta * cos theta #

#rArr sinθ = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #

#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #

마지막으로, 요점:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)