어떻게이 미분 방정식을 풀 수 있습니까?

대답:

1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

설명:

이것은 분리 가능한 미분 방정식 이는 단순히 그룹을 그룹화 할 수 있음을 의미합니다. #엑스# 용어 & #와이# 방정식의 반대편에있는 항. 그래서, 이것이 우리가 먼저 할 일입니다.

# (e ^ x) y dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

(e + x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

dy / dx = e ^ (- y) / y # dx / (1 + e ^ (- 2x)

이제 우리는 y의쪽에 dy, x의쪽에 dx. 우리는 약간의 재배치가 필요할 것입니다:

(1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

이제 양면을 통합합니다.

#int (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

차례로 각 적분을합시다.

1. #int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

먼저, 이것을 더하기 / 빼기 규칙에 의해 2 개의 개별 적분으로 나누십시오.

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

이건 좀 짜증나. 그러나 우리는 그 (것)들을 그 (것)들을 더 좋게 보이게하는 조금 쇄신을 줄 수있다 (그리고 다량 해결하게 쉬운):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

이 두 가지 모두 이제는 간단합니다. #유#- 치환 적분. 설정 한 경우 #u = -x # 과 # -3x # 각각 다음과 같이 답을 얻을 수 있습니다.

(-x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

1. #int y / e ^ (- y) dy #

# 음수 지수를 양수로하면 다음과 같이됩니다.

#int (ye ^ y) dy #

이를 위해 부품을 통합해야합니다. 공식은 다음과 같습니다.

#int (uv) dy = uv-int (v * du) #

우리는 #u = y #, 및 #dv = e ^ y dy #. 그 이유는 우리가 # du # 최종 통합을 위해 그리고 또한 # e ^ y # 통합이 매우 쉽습니다.

그래서:

#u = y #

# => 뒤 = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

자, 우리는 단지 플러그 앤 칙칙 거리는 소리를냅니다.

# => int (ye ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) dy #

# = ye ^ y - e ^ y #

모든 것을 다시 넣는 것:

y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

음수 지수 제거하기:

(x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

그리고 이것은 꽤 괜찮은 최종 답변입니다. 당신이 해결하고 싶다면 #와이#, 너는 끝낼 수있어.

1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

우리는 # + C # 이 방정식의 LHS에. 그 이유는 우리가 그것을 넣었더라도 궁극적으로 그것을 RHS에서 뺍니다. 임의의 상수에서 임의의 상수를 뺀 것이 임의의 상수 (여전히 그것을 기다림)입니다. 따라서 이러한 문제는 # + C # 방정식의 어느 한 쪽에서도 괜찮을 것입니다.

희망이 도움이:)