F (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2))의 극한 및 안장 점은 무엇입니까?

대답:

# {: ("중요 포인트", "결론"), ((0,0,0), "saddle"):} #

설명:

극한을 식별하는 이론 # z = f (x, y) #:

1. 동시에 중요한 방정식을 풀어 라.

   # (부분 f) / (부분 x) = (부분 f) / (부분 y) = 0 # (즉 # f_x = f_y = 0 #)

2. 평가하다 # f_ (xx), f_ (yy) 및 f_ (xy) (= f_ (yx)) # 각 중요한 지점에서. 따라서 평가 # Delta = f_ (xx) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # 이 각 지점에서
3. 극한의 본질을 결정하십시오;

   0 ","안장 점이 있습니다 "# {: (델타> 0,"f_ (xx) <0), ("및 최소"f_ (yy)> 0 "), (델타 = 0, "추가 분석이 필요합니다"):} #

그래서 우리는:

(x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #

# ""= xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #

첫 번째 부분 파생 상품을 찾으십시오.

# (부분 f) / (부분 x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) +

# = ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #

# (부분 f) / (부분 y) = {(xy) (2y ^ (y ^ 2)) + (x ^ (y ^ 2)

xy ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #

따라서 우리의 중요한 방정식은 다음과 같습니다.

(y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - y ^ (y ^ 2) e ^ (x ^ 2)) = 0 #

(x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

이 방정식으로부터 우리는:

# y = 0 # 또는 # e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# x = 0 # 또는 # e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #

그리고 유일한 동시 해결책은 # x = y = 0 #

그래서 우리는 하나 원점의 임계점

이제 우리는 두 번째 부분 파생물을 살펴보고 임계점의 특성을 결정할 수있게하겠습니다 (이 결과를 인용 해 보겠습니다).

(x ^ 2) - (x ^ 2) # (x ^ 2)

(부분적 ^ 2f) / (부분 y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #

(x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) e ^ (y ^ 2) (= (부분 ^ 2f) / (부분 y 부분 x)) #

그리고 우리는 계산해야합니다:

# 델타 = (부분 ^ 2f) / (부분 ^ 2f) / (부분 ^ 2f) / (부분 ^ 2f) / (부분 x 부분 y)) ^ 2 #

각 임계점에서. 제 2 부분 미분 값, #델타#결론은 다음과 같습니다.

# {: (중요 포인트 ^ 2) / (부분 ^ 2f) / (부분 y ^ 2), (부분 ^ 2f) / (부분 x 부분 y), 델타, "결론"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "포함"):} #

그래서 모든 일이 끝난 후에는 포괄적 인 결과를 얻는 것이 다소 실망 스럽습니다. 그러나 우리가 임계점 주변의 행동을 조사해 보면 그것이 안장이라는 것을 쉽게 입증 할 수 있습니다.

3D 플롯을 보면 다음과 같은 중요한 포인트를 볼 수 있습니다.