F (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2의 극한값과 안장 점은 무엇입니까?

대답:

((0, 0), "min"), ((-1, -2), "saddle"), ((-1,2), "안장 "), ((-5 / 3,0),"max "):} #

설명:

극한을 식별하는 이론 # z = f (x, y) #:

동시에 중요한 방정식을 풀어 라.

# (부분 f) / (부분 x) = (부분 f) / (부분 y) = 0 # (즉 # z_x = z_y = 0 #)
평가하다 # f_ (xx), f_ (yy) 및 f_ (xy) (= f_ (yx)) # 각 중요한 지점에서. 따라서 평가 # Delta = f_ (xx) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # 이 각 지점에서
극한의 본질을 결정하십시오;

0 ","안장 점이 있습니다 "# {: (델타> 0,"f_ (xx) <0), ("및 최소"f_ (yy)> 0 "), (델타 = 0, "추가 분석이 필요합니다"):} #

그래서 우리는:

# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

첫 번째 부분 파생 상품을 찾으십시오.

# (부분 f) / (부분 x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (부분 f) / (부분 y) = 2xy + 2y #

따라서 우리의 중요한 방정식은 다음과 같습니다.

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

두 번째 방정식에서 우리는:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

하위 # x = -1 # 첫 번째 방정식에 넣으면 다음과 같이됩니다.

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

하위 # y = 0 # 첫 번째 방정식에 넣으면 다음과 같이됩니다.

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #

그래서 우리는 네 좌표가있는 임계점;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

이제 우리는 중요한 점의 본질을 결정할 수 있도록 두 번째 부분 파생어를 살펴 보겠습니다.

# (부분 ^ 2f) / (부분 x ^ 2) = 12x + 10 #

# (부분 ^ 2f) / (부분 y ^ 2) = 2x + 2 #

# (부분 ^ 2f) / (부분 x 부분 y) = 2y (= (부분 ^ 2f) / (부분 y 부분 x)) #

그리고 우리는 계산해야합니다:

# 델타 = (부분 ^ 2f) / (부분 ^ 2f) / (부분 ^ 2f) / (부분 ^ 2f) / (부분 x 부분 y)) ^ 2 #

각 임계점에서. 제 2 부분 미분 값, #델타#결론은 다음과 같습니다.

# {: (중요 포인트 ^ 2) / (부분 ^ 2f) / (부분 y ^ 2), (부분 ^ 2f) / (부분 x 부분 y), 델타, "(결론)"), ((0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1, -2), - 0, "새들"), ((-1,2), - 2,0,4, lt0, "saddle"), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "max"):} #

3D 플롯을 보면 다음과 같은 중요한 포인트를 볼 수 있습니다.