X = 0에 중심을 둔 e ^ (- 2x)의 테일러 확장은 무엇입니까?

대답:

(2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

설명:

테일러 시리즈의 사례가 주변에 펼쳐졌다. #0# Maclaurin 시리즈라고합니다. Maclaurin 시리즈의 일반적인 공식은 다음과 같습니다.

#f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) x ^ n #

함수에 대한 시리즈를 만들기 위해 다음과 같은 함수로 시작할 수 있습니다. # e ^ x # 그 다음에 그것을 사용하여 #e ^ (- 2x) #.

Maclaurin 시리즈를 구성하기 위해서는 다음과 같은 n 차 미분을 알아야합니다. # e ^ x #. 몇 가지 파생물을 사용하면 매우 빠르게 패턴을 볼 수 있습니다.

#f (x) = e ^ x #

#f '(x) = e ^ x #

#f ''(x) = e ^ x #

사실, n 번째 파생물 # e ^ x # 단지 # e ^ x #. 이것을 Maclaurin 공식에 연결할 수 있습니다.

(n!) = 1 + x / (1!) + x (n은 0) ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) … #

이제 우리는 테일러 시리즈를 만들었습니다. # e ^ x #, 우리는 단지 모든 것을 #엑스#~ 함께 # -2x # 에 대한 시리즈를 얻을 #e ^ (- 2x) #:

n = (n!) = sum_ (n) = 0 (-2) ^ n / (n!) x ^ n = #

(1) x + 4 / (2!) x ^ 2-8 / (3!) x ^ 3 + 16 / (4!

# = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

그것은 우리가 찾고 있던 시리즈입니다.