정점이있는 평행 사변형의 면적은 어떻게 구합니까?

대답:

평행 사변형의 경우 # ABCD # 지역은

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

설명:

우리의 평행 사변형 # ABCD # 네 개의 꼭지점의 좌표로 정의됩니다. # x_A, y_A #, # x_B, y_B #, # x_C, y_C #, # x_D, y_D #.

우리 평행 사변형의 면적을 결정하기 위해, 우리는 그 기지의 길이가 필요합니다. # | AB | # 및 고도 # | DH | # 버텍스에서 #디# 가리키다 # H # 측면에 # AB # (그건, #DH_ | _AB #).

우선, 작업을 단순화하기 위해 꼭지점 #에이# 좌표의 원점과 일치합니다. 면적은 동일하지만 계산이 더 쉬울 것입니다.

그래서 우리는 다음 좌표 변환을 수행 할 것입니다.

# U = x-x_A #

# V = y-y_A #

그런 다음 (# U, V #) 모든 정점의 좌표는 다음과 같습니다.

#A U_A = 0, V_B = 0 #

#B U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A, V_C = y_C-y_A #

#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #

우리의 평행 사변형은 이제 두 개의 벡터로 정의됩니다.

# p = (U_B, V_B) # 과 # q = (U_D, V_D) #

기지의 길이를 결정하십시오. # AB # 벡터의 길이로 #피#:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

고도 길이 # | DH | # 다음과 같이 표현 될 수있다. # | AD | * sin (/ _ BAD) #.

길이 #광고# 벡터의 길이입니다. #큐#:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

각도 #/_나쁜# 벡터의 스칼라 (도트) 곱에 대해 두 가지 식을 사용하여 결정할 수 있습니다. #피# 과 #큐#:

# (p * q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | p | * | q | * cos (/ _ BAD) #

어떤에서

(U_B ^ 2 + V_B ^ 2) # # 2와 (U_B ^ 2 + V_B ^ 2)

# sin ^ 2 (/ _BAD) = 1-cos ^ 2 (/ _BAD) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) =

# (U_B * 2 + V_D ^ 2) # = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2)

이제 면적을 계산하는 모든 구성 요소를 알 수 있습니다.

베이스 # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

고도 # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

해당 지역은 해당 제품입니다.

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

원래 좌표의 관점에서 보면 다음과 같습니다.

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

대답:

다른 토론

설명:

기하학적 인 증거

그림을 고려해보십시오.

우리는 세 개의 정점 (A, B, D)이 알려질 때, 평행 사변형 ABCD의 면적 계산 공식을 쉽게 수립 할 수 있습니다.

대각선 BD가 평행 사변형을 두 개의 합동 삼각형으로 양분하기 때문입니다.

평행 사변형 ABCD의 면적

= 삼각형 ABD의 면적

= 2 사다리꼴의 면적 BAPQ + 트랩의 면적 BQRD - 트랩의 면적 DAPR

=2# 1 / 2 (AP + BQ) PQ + 1 / 2 (BQ + DR) QR-1 / 2 (AP + DR) PR

= # (Y_A + Y_D) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D)

=취소 (Y_DX_D) + 취소 (Y_AX_A) + 취소 (Y_BX_B) - 취소 (Y_BX_B) - 취소 (Y_BX_B) - 취소 (Y_BX_B)

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

이 수식은 평행 사변형의 면적을 나타냅니다.

벡터를 고려한 증명

또한 고려할 수 있습니다. #vec (AB) # 과# vec (AD) #

지금

점 A의 위치 벡터 w.r, t 원점 O, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

점 B의 위치 벡터 w.r, t는 원점 O, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

점의 위치 벡터 D w.r, t 원점 O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

지금

평행 사변형 ABCD의 면적

# =베이스 (AD) * 높이 (BE) = AD * h #

# = AD * ABsintheta = | vec (AD) Xvec (AB) | #

다시

# vec (AD) = vec (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-Y_A) hatj #

# vec (AB) = vec (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) hati + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (광고) #엑스#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

면적 = # | vec (AD) #엑스#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + 취소 (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B- 취소 (Y_AX_A) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

따라서 우리는 같은 공식을가집니다.