X ^ 6 - 5x ^ 3 + 8 ... (factorise)?

대답:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

(α2 + α2) (α2 - (α2) - (α2 + α2))) x + 2) #

아래에 설명 된대로 …

설명:

경고:

이 대답은 당신이 알기를 기대하는 것보다 훨씬 앞선 것입니다.

노트

단순화하고 찾을 수 있습니다:

# 알파 + 바 (알파) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# omegaalpha + omega ^ 2bar (alpha) = 1/2 (1-sqrt (21)) #

# 오메가 ^ 2 알파 + 오메가 바르 (알파) = -1 #

그러나 이것이 최선의 방법임을 (아직) 분명하지 않습니다.

대답:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

(x ^ 2 + (- 1 / 2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 +) x + 2) #

설명:

다음은 더 간단한 방법입니다 …

주어진:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

다음 형식의 인수 분해 (factorisation)를 찾으십시오.

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + alphax + 2) (x ^ 2 + betax + 2) (x ^ 2 + gammax + 2) #

x ^ 3 + (2 (알파벳 (알파벳 + 베타 + 감마 + 알파 감마 + 알파 감마 + 알파 감마 + 알파 감마 + + betagamma + gammaalpha) +12) x ^ 2 + 4 (alpha + beta + gamma) x + 8 #

우리가 찾는 계수를 Equating:

# {(alpha + beta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -6), (alphagamma = -5)

그래서 # 알파, 베타, 감마 # 입방체의 0입니다.

# (x-alpha) (x-beta) (x-gamma) #

# = x ^ 3 - (alpha + beta + gamma) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

# = x ^ 3-6x + 5 #

이 3 차 계수의 계수의 합은 다음과 같습니다. #0#. 그건 #1-6+5 = 0#.

금후 # x = 1 # 0이고 # (x-1) # 요인:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

나머지 2 차 곡선의 0은 다음과 같은 2 차 방정식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

1 / 2- (1) (- 5))) / 1/2 (-1 + -sqrt (21)) #

그래서 1, -1 / 2 + sqrt (21) / 2, -1 / 2-sqrt (21) / 2}

그래서:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

(x ^ 2 + (- 1 / 2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 +) x + 2) #

보너스

위의 도출을 일반화 할 수 있습니까?

# x ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 #

# = (x ^ 2 + alphax + q) (x ^ 2 + betax + q) (x ^ 2 + gammax + q) #

(알파벳 + 베타 + 감마 + 3q) x ^ 4 + (q (알파 + 베타 + 감마) + 알파벳 감마) x ^ 3 + q (알파벳 + 베타 감마 + 감마 알파 + 3q) x ^ 2 + q ^ 2 (알파 + 베타 + 감마) x + q ^ 3 #

계수를 Equating:

# {(알파 + 베타 + 감마 = 0), (알파벳 + 베타 감마 + 감마 알파 = -3q), (알파벳 감마 = p)

금후 # 알파, 베타, 감마 # 다음 중 0에 해당합니다.

# x ^ 3-3qx-p #

그래서 우리가이 입방체의 3 개의 실제 0을 찾을 수 있다면, 우리는 섹스의 factorisation을 가지고 있습니다. # x ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 # 실제 계수를 갖는 3 개의 2 차 방정식으로 변환합니다.