대답:
# (dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #
설명:
네가 찾고 싶다고 가정하고있어. # (dy) / (dx) #. 이를 위해 우리는 #와이# 의 관점에서 #엑스#. 이 문제는 여러 가지 해결책을 가지고 있습니다. #tan (x) # 주기적인 함수이다. #tan (x-y) = x # 여러 솔루션을 제공합니다. 그러나 접선 함수의주기를 알기 때문에 (# 파이 #), 우리는 다음을 할 수 있습니다: # x-y = tan ^ (- 1) x + npi #, 어디서 #tan ^ (- 1) # 사이의 탄젠트 부여 값의 역함수 # -pi / 2 # 과 # 파이 / 2 # 요인 # npi # 탄젠트의 주기성을 설명하기 위해 추가되었습니다.
이것은 우리에게 준다. # y = x-tan ^ (- 1) x-npi #따라서 # (dy) / (dx) = 1-d / (dx) tan ^ (- 1) x #, 유의할 점은 # npi # 사라졌다. 이제 우리는 # d / (dx) tan ^ (- 1) x #. 이것은 매우 까다 롭지 만, 역함수 정리를 사용하면 가능합니다.
환경 # u = tan ^ (- 1) x #, 우리는 # x = tanu = sinu / cosu #, 그래서 # (dx) / (du) = (cos ^ 2u + sin ^ 2u) / cos ^ 2u = 1 / cos ^ 2u #, 몫 규칙과 몇 가지 삼각법 ID를 사용합니다. 역함수 정리를 사용하면 (if # (dx) / (du) # 연속적이고 0이 아닌 경우 # (du) / (dx) = 1 / ((dx) / (du)) #), 우리는 # (du) / (dx) = cos ^ 2u #. 이제 우리는 # cos ^ 2u # x의 관점에서.
이를 위해 삼각법을 사용합니다. 주어진면을 가진 직각 삼각형 #알파벳# 어디에 #기음# 빗변과 # a, b # 직각으로 연결. 만약 #유# 각도 #기음# 교차하는면 #에이#, 우리는 # x = tanu = b / a #. 기호로 #알파벳# 방정식에서 우리는이 가장자리의 길이를 나타냅니다. # cosu = a / c # 피타고라스 정리를 사용하면 # c = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = asqrt (1+ (b / a) ^ 2) = asqrt (1 + x ^ 2) #. 이것은 준다. # cosu = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #, 그래서 # (du) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) #.
이후 # u = tan ^ (- 1) x #, 이것을 우리 방정식으로 대체 할 수 있습니다. # (dy) / (dx) # 찾아서 # (dy) / (dx) = 1-1 / (1 + x ^ 2) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #.
