F (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x 축 주위의 [1,3]에서 x 회전하여 생성 된 솔리드의 표면적은 얼마입니까?

대답:

부호를 결정한 다음 부품별로 통합하십시오. 지역:

# A = 39.6345 #

설명:

당신은 #f (x) # 에서 음수 또는 양수입니다. #1,3#. 따라서:

# xe ^ -x-xe ^ x #

#x (e ^ -x-e ^ x) #

기호를 결정할 때 두 번째 요소는 다음과 같은 경우에 양수가됩니다.

# e ^ -x-e ^ x> 0 #

# 1 / e ^ x-e ^ x> 0 #

# e ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

이후 # e ^ x> 0 # 어떠한 것도 #x in (-oo, + oo) # 불평등은 변하지 않는다.

# 1-e ^ (x + x)> 0 #

# 1-e ^ (2x)> 0 #

# e ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#x <0 #

그래서 함수는 x가 음수 일 때만 양수이고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 또한 #엑스# ~에 인수하다 #f (x) #

#f (x) = x (e ^ -x-e ^ x) #

한 요소가 양수이면 다른 요소는 음수이므로 f (x)는 항상 부정적인. 그러므로, 지역:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (xe ^ -x-xe ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ 3xe ^ -xdx + int_1 ^ 3xe ^ xdx #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (e ^ -x) ') dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)'dx #

# A = int_1 ^ 3x * (e ^ -x) 'dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)'dx #

(x) 'e ^ xdx + x (e ^ x) _1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x)

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 - - e ^ -x _1 ^ 3 + x (e ^ x) _1 ^ 3- e ^ x _1 ^ 3 #

(3e ^ -3-1 * e ^ -1) + (e ^ -3 ^ e ^ -1) + (3e ^ 3-1 ^ e ^ 1) - #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / e + 3e ^ 3-e-e ^ 3 + e #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

계산기 사용:

# A = 39.6345 #

대답:

면적 = 11,336.8 평방 단위

설명:

주어진 #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

단순함을 위해 #f (x) = y #

과 # y = xe ^ -x -xe ^ x #

1 차 미분 #와이'# 표면적의 계산에 필요하다.

지역 # = 2pi int_1 ^ 3 y # # ds #

어디에 # ds ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

지역 # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

1 차 미분 결정 #와이'#:

구별 짓다 # y = x (e ^ -x - e ^ x) # 제품 공식의 미분을 사용하여

(e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e -x -x * e ^ x #

단순화 및 인수 분해 후 결과는 다음과 같습니다.

1 차 미분 # y '= e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x) #

지역 계산:

면적 = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # ds #

지역 # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

지역

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

이와 같은 복잡한 통합의 경우 Simpson 's Rule을 사용할 수 있습니다.

그래서

지역

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

면적 = -11,336.804

이것은 음의 표면적 또는 양의 표면적이있을 수 있도록 회전 방향을 포함합니다. 양수 값 Area = 11336.804 평방 단위 만 고려해 봅시다.