N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3)은 정수인가?

대답:

중히 여기다 # t ^ 3-21t-90 = 0 #

여기에는 하나의 실수가 있습니다. #6# a.k.a. # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

설명:

방정식을 고려해보십시오.

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

Cardano의 방법을 사용하여 그것을 해결하자. #t = u + v #

그때:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0 #

기간을 삭제하려면 # (u + v) #, 제약 조건 추가 # uv = 7 #

그때:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

~을 통해 곱하기 # u ^ 3 # 2 차 방정식을 얻기 위해 재정렬 # u ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

이차 방정식에 의해, 이것은 뿌리가 있습니다:

# u ^ 3 = (90 + -sqrt (90 ^ 2- 2- (4 * 343))) / 2 #

#color (흰색) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

#color (흰색) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728) #

#color (흰색) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2) #

이것이 Real이고 유도가 대칭 적이기 때문에 #유# 과 #V#, 우리는이 뿌리 중 하나를 사용할 수 있습니다. # u ^ 3 # 다른 하나는 # v ^ 3 # 그 실수의 # t ^ 3-21t-90 #:

# t_1 = root (3) (45 + 29sqrt (2)) + root (3) (45-29sqrt (2)) #

그러나 우리는 발견:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

그래서 # t ^ 3-21t-90 # ~이다. #6#

그래서 # 6 = root (3) (45 + 29sqrt (2)) + root (3) (45-29sqrt (2)) #

#color (흰색) () #

각주

입방 방정식을 찾으려면, 카르 다노의 방법을 거꾸로 사용했습니다.

대답:

# N = 6 #

설명:

만들기 #x = 45 + 29 sqrt (2) # 과 #y = 45-29 sqrt (2) # 그때

(1/3) +3 (xy) ^ (1/3) x 3 (xy)) y ^ (1/3) + y #

# (xy) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 xx 45 #

그래서

(1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^

또는 부름 #z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # 우리는

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

와 # 90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5 # 과 #z = 6 # 뿌리가 너무

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #