대답:
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a - | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) # …에 대한 RR #의 #b
(πa / π + (2k + 1) / 8))) # a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ …에 대한 #b = | b | e ^ (itheta) in CC #
설명:
대수학의 근본 정리에 의해 주어진 표현식을
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 1) ^ 8 (a-alpha_k) #
여기서 각각 # alpha_k # ~의 뿌리이다. # x ^ 8 + b ^ 8 #.
해결을위한 # alpha_k #, 우리는 얻는다.
# x ^ 8 + b ^ 8 = 0 #
# => x ^ 8 = -b ^ 8 #
# => x = (-b ^ 8) ^ (1/8) #
# = | b | (-1) ^ (1/8) # (가정 RR #의 #b)
# = | b | (e ^ (i (pi + 2pik))) ^ (1/8) #
# = | b | e ^ (ipi ((2k + 1) / 8), k는 ZZ #
같이 #k in {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} # 그 형태의 모든 유일한 가치의 계정들, 우리는 우리의 인수 분해를 다음과 같이 얻는다. RR #의 #b
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a - | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) #
더 일반적인 경우 #b CC #, 그런 다음 #b = | b | e ^ (itheta) #, 비슷한 계산을 통해 찾을 수 있습니다.
# (-b ^ 8) ^ (1/8) = | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) #
의미
(πa / π + (2k + 1) / 8))) # a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^
죄송합니다. 사소한 세부 사항을 간과하고 있습니다. 답변은 정확합니다.
가정 #b ne 0 # 과 RR #의 # a, b 우리는
# (a / b) ^ 8 = -1 = e ^ (ipi + 2kpi) # 그때
# a / b = e ^ (i (2k + 1) pi / 8) # 그때
# a-b e (i (2k + 1) pi / 8) = 0 # ~이다. # k = 0,1, cdots, 7 # 뿌리 또는 요인.
밝히다
#p (k) = a-be ^ (i (2k + 1) pi / 8) #
그리고
(1) p (6) = a ^ 2 - (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
(2) sqrt 2) a b + b ^ 2 # (2)
(3) p (4) = a ^ 2 + (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
a + b - 2 - (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
그래서
# a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4 # 실제 계수와 함께.
