Int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx의 정수는 무엇입니까?

대답:

(abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1)) + sqrt (1 + e (2x)) + ln ^ (2x)) + C #

설명:

먼저 우리는 다음을 대체합니다.

# u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 #

# (du) / (dx) = 2e ^ (2x) dx = (du) / (2e ^ (2x)

du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du # intsqrt (u) / (2e ^ (2x)

두 번째 대체 작업 수행:

# v ^ 2 = u; v = sqrt (u) #

# 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv #

# 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2-1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv #

부분 분수를 사용하여 분할:

# 1 / (v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v-1) #

# 1 = A (v-1) + B (v + 1) #

# v = 1 #:

# 1 = 2B #, # B = 1 / 2 #

# v = -1 #:

# 1 = -2A #, # A = -1 / 2 #

이제 우리는:

1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (v-1)) #

dv = 1 / 2 (-ln (v + 1)) + 1 / (2 + 1) (abs (v + 1)) + ln (abs (v-1)) + v + C #

다시에서 대체 # v = sqrt (u) #:

(absr (u) -1)) + sqrt (u) + C # 1 / 2 -ln (abs (sqrt (u) +1)

다시에서 대체 # u = 1 + e ^ (2x) #

(abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1)) + sqrt (1 + e (2x)) + ln ^ (2x)) + C #