이항 공식을 사용하여 [x + (y + 1)] ^ 3을 어떻게 확장합니까?

대답:

# x ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1 #

설명:

이 이항식은 다음과 같은 형태를 갖는다. # (a + b) ^ 3 #

이 속성을 적용하여 이항을 확장합니다.

# (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #.

주어진 이항 # a = x # 과 # b = y + 1 #

우리는:

# x + (y + 1) ^ 3 = #

# x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 2 + (y + 1) ^ 3 # 그것을 (1)

위의 확장에서 우리는 여전히 두 개의 이항식을 확장해야합니다.

# (y + 1) ^ 3 # 과 # (y + 1) ^ 2 #

에 대한 # (y + 1) ^ 3 # 우리는 위의 3 차원 속성을 사용해야합니다.

그래서 # (y + 1) ^ 3 = y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1 #. 그것을 (2)

에 대한 # (y + 1) ^ 2 # 우리는 다음과 같은 합계의 제곱을 사용해야합니다.

# (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

그래서 # (y + 1) ^ 2 = y ^ 2 + 2y + 1 #. 그것을 (3)

방정식 (1)에 (2)와 (3)을 대입하면 다음과 같습니다.

# x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 2 + (y + 1) ^ 3 #

# = x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y ^ 2 + 2y + 1) + (y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y +

# = x ^ 3 + 3x ^ 2y + 3x ^ 2 + 3xy ^ 2 + 6xy + 3x + y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y +

우리는 비슷한 용어를 추가해야하지만이 다항식에는 비슷한 용어가 없으므로 용어를 정렬 할 수 있습니다.

그러므로, 3 × 2 + 3 × 2 + 3 × 2 + 3 × 2 + 6 × + 3 × + 3 × 1 +