F (pi / 6) = 1이면 f (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx는 무엇입니까?

대답:

cos (x) + 1 / 2sec ^ 2 (x) + cos (x) + 5 / 3 + sqrt3 / 2- (1) / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

설명:

먼저 적분을 3으로 나누기 시작합니다.

(x) dx-int tan ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx =

# = int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx-cos (x) #

나는 왼쪽 적분 Integral 1을 호출하고 오른쪽 1 Integral 2

정수 1

여기서 우리는 부분에 의한 통합과 약간의 트릭을 필요로합니다. 부품 별 통합 공식은 다음과 같습니다.

(x) g (x) dx = f (x) g (x)

이 경우에는 #f (x) = e ^ x # 과 # g '(x) = cos (x) #. 우리는 그것을 얻는다.

#f '(x) = e ^ x # 과 # g (x) = sin (x) #.

이것은 우리의 필수 요소입니다.

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) dx #

이제 부품으로 다시 통합 할 수 있지만 이번에는 # g '(x) = sin (x) #:

xint (x) - (- e) xcos (x) - (- int e ^ xcos (x) dx)

xint (x) + dx # xcos (x) + xxcos (x)

이제 양면에 정수를 더할 수 있습니다.

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

(x) + e ^ xcos (x)) + C = # xcos (x)

# = e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) + C #

통합 2

먼저 ID를 사용할 수 있습니다.

#tan (theta) = sin (theta) / cos (theta) #

이것은 다음을 제공합니다:

(x) / dx = int (sin (x) sin ^ 2 (x)) / cos ^ 3 (x) dx #

이제 우리는 피타고라스의 정체성을 사용할 수 있습니다:

# sin ^ 2 (theta) = 1-cos ^ 2 (theta) #

(x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x) dx #

이제 우리는 u- 치환을 # u = cos (x) #. 그런 다음 미분으로 나눕니다. # -sin (x) # 존중과 통합하다 #유#:

(1-cos ^ 2 (x)) / (취소 (sin (x)) cos ^ 3 (x)) du = 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du = #

(x) + 1 / (2cos ^ 2 (x)) + 1 / (2u ^ 2) + C = ln | 기음#

원래의 적분 완료

Integral 1과 Integral 2를 알게되었으므로 원래의 정수로 다시 연결하고 최종 답을 얻기 위해 간단하게 할 수 있습니다.

cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + C # (x)

우리가 antiderivative를 안다면, 우리는 상수를 풀 수 있습니다:

#f (pi / 6) = 1 #

cos (pi / 6) | -1 / 2sec ^ 2 (pi / 6) -cos (pi / 6) / cos (pi / 6) / 6) + C = 1 #

(3 / 2) + C = 1 # 2 / 3-sqrt (3) / 2 + 1 / 2 (1 / 2 + sqrt (3) / 2)

# C = 1 + 2 / 3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

# C = 5 / 3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

이 함수는 다음과 같습니다.

cos (x) + 1 / 2sec ^ 2 (x) + cos (x) + 5 / 3 + sqrt3 / 2- (1) / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #