Int e ^ x sinx cosx dx를 통합하는 방법?

대답:

#xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

설명:

먼저 ID를 사용할 수 있습니다.

# 2sinthetacostheta = sin2x #

그것은 다음을 제공합니다:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

이제 부분별로 통합을 사용할 수 있습니다. 공식은 다음과 같습니다.

(x) g (x) dx = f (x) g (x)

나는 내버려 둘 것이다. #f (x) = sin (2x) # 과 # g '(x) = e ^ x / 2 #. 공식을 적용하면 다음과 같이 나타납니다.

(2x) e ^ x / dx # sinx (2x)

이제 부품으로 통합을 한 번 더 적용 할 수 있습니다. #f (x) = cos (2x) # 과 # g '(x) = e ^ x #:

(2x) e ^ x / dx) # dx = sin (2x)

(2x) e ^ x dx # 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x)

이제 우리는 평등의 양면에 완전성을 가지므로 방정식처럼 풀 수 있습니다. 먼저 양면에 2 배의 정수를 더합니다.

(2x) e x + 2-cos (2x) e ^ x + C #

원래의 적분에 대한 계수의 절반을 원했기 때문에, 우리는 양변을 다음과 같이 나눕니다. #5#:

(2x) ex) + C = # 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx =

# = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

대답:

x = sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

설명:

우리는 찾는다:

# I = int e ^ x sinxcosx dx #

어떤 ID를 사용:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

# I = 1 / 2 int e ^ x sin2x dx #

# I = 1 / 2 I_S #

편의상 다음을 나타냅니다.

# I_S = int e ^ x sin2x dx #, 및 # I_C = int e ^ x cos2x dx #

이제는 부품별로 통합 작업을 한 번 더 수행합니다.

방해 > (dv) / dx, = cos2x, => v, = 1 / 2 sin2x):} # {(u, = e ^ x,

그런 다음 IBP 공식에 연결하십시오.

(1 / 2sin2x) (e ^ x) dx # (1 / 2cos2x)

#:. I_C = 1 / 2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:. I_C = 1 / 2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. B}

이제 두 개의 미지수에 두 개의 동시 방정식이 있습니다. # I_S #. 과 # I_C #, 그래서 B 를 A로 대체하면:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

1 2 e ^ x cos2x + 1 / 4 e ^ x sin2x - 1 / 4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

선도:

# I = 1/2 I_S + C #

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #