N 개의 정수의 합에 대한 공식을 알고있는 것은 무엇인가? a) N 개의 연속 된 제곱 정수의 합은 얼마인가? (N = 1) ^ N ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ) ^ 2 + N ^ 2? b) 첫 번째 N 연속 큐브 정수의 합 Sigma_ (k = 1) ^ Nk ^ 3?

대답:

에 대한 #S_k (n) = sum_ {i = 0} ^ ni ^ k #

# S_1 (n) = (n (n + 1)) / 2 #

# S_2 (n) = 1 / 6n (1 + n) (1 + 2n) #

#S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)

설명:

우리는 가지고있다.

#sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 3 - (n + 1) ^ 3 #

i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 #

(n + 1) ^ 3 # 0 = 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {

해결을위한 #sum_ {i = 0} ^ n i ^ 2 #

#sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n + 1) ^ 3 / 3- (n + 1) / 3-sum_ {i = 0}

그러나 #sum_ {i = 0} ^ n = ((n + 1) n) / 2 # 그래서

#sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n + 1) ^ 3 / 3- (n + 1) / 3 - ((n + 1) n) / 2 #

#sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = 1 / 6n (1 + n) (1 + 2n) #

동일한 절차를 사용하여 #sum_ {i = 0} ^ n i ^ 3 #

#sum_ {i = 0} ^ n ^ 4 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 4 - (n + 1) ^ 4 #

#sum_ {i = 0} ^ ni ^ 4 = sum_ {i = 0} ^ ni ^ 4 + 4sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 6sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 4sum_ {i = 0 } ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 4 #

(0 + 1) ^ n + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 2 = 4sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 6sum_ { 4 #

(n) + 4S_1 (n) + (n + 1) - (n + 1) ^ 4 #

해결을위한 # S_3 (n) #

#S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)

이리 #S_k (n) = sum_ {i = 0} ^ ni ^ k #