+ bi의 형태로 (4sqrt (3) -4i) ^ 22을 어떻게 써야합니까?

대답:

# (4sqrt (3) -4i) ^ 22 = 2 ^ 65 + 2 ^ 65sqrt (3) i #

#color (흰색) ((4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 36893488147419103232 + 36893488147419103232sqrt (3) i #

설명:

주어진:

# (4sqrt (3) -4i) ^ 22 #

참고 사항:

# sqrt (4sqrt (3) -4i) = sqrt (4sqrt (3)) ^ 2 + 4 ^ 2) = sqrt (48 + 16) = sqrt (64) = 8 #

그래서 # 4sqrt (3) -4i # 형태로 표현 될 수있다. # 8 (cosθ + sinθ) # 일부 적절한 # theta #.

# 4sqrt (3) -4i = 8 (sqrt (3) / 2-1 / 2i) = 8 (cos (-pi / 6) + sin (-pi / 6)

그래서:

# (4πqrt (3) -4i) ^ 22 = (8 (cos (-pi / 6) + isin (-pi / 6))) ^ 22 #

8- 22 (cos (- (22pi) / 6) + isin (- (22pi) / 6)) # color (흰색) (4sqrt (3) -4i) ^ 22)

#color (흰색) (4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 8 ^ 22 (cos (pi / 3) + isin (pi / 3)) #

#color (흰색) ((4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 8 ^ 22 (1 / 2 + sqrt (3) / 2 i) #

#color (흰색) ((4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 2 ^ 65 + 2 ^ 65sqrt (3) i #

#color (흰색) ((4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 36893488147419103232 + 36893488147419103232sqrt (3) i #

대답:

여기에 이항 정리를 사용하지 않는 한 가지 방법이 있습니다.

설명:

관찰해라. # (4sqrt3-4i) ^ 22 = (4 (sqrt3-i)) ^ 22 = 4 ^ 22 (sqrt3-i) ^ 22 #.

이것은 우리가 계수를 어느 정도 낮추도록 할 것입니다.

우리는 # (sqrt3-i) ^ 22 # 에 의해 #4^22 = 2^44# 결국.

(sqrt3-i) ^ 2 = (sqrt3-i) (sqrt3-i) = 3 -1 -2isqrt3 = 2-2isqrt3 #

(sqrt3-i) ^ 3 = (2-2qqrt3) (sqrt3-i) = 2sqrt3-2i -6i-2sqrt3 = -8i #

(sqrt3-i) ^ 21 = ((sqrt3-i) ^ 3) ^ 7 = (-8i) ^ 7 = 2 ^ 21i #

(-8 ^ 7) (i ^ 7) = (-2 ^ 21) (- i) = 2 ^ 21i #

(sqrt3-i) ^ 22 = (2 ^ 21i) (sqrt3 - i) = 2 ^ 21 (1 + isqrt3) #

곱하기 by #4^22 = 2^44#:

최종 답변은 다음과 같습니다.

# = 2 ^ 65 (1+ isqrt3) #