방정식 x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0이 [0, 1]에 정확히 하나의 해를 가짐을 보여 주시겠습니까?

대답:

아래를 참조하십시오.

설명:

우선, #f (x) = x ^ 4 + 2x ^ 2-2 # 우리 도메인의 경계에서:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

파생 상품을 계산하는 경우

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

우리는 그것이 항상 긍정적임을 알 수 있습니다. #0,1#. 사실로, # x ^ 2 + 1 # 항상 긍정적이다. # 4x # 분명히 긍정적이다. #엑스# 긍정적입니다.

따라서 우리의 기능은 #엑스# 이후 축 #f (0) <0 #, 위에 끝나고 #엑스# 이후 축 #f (1)> 0 #. 이 함수는 다항식이므로 연속적입니다.

연속 선이 축 아래에서 시작하여 위에 끝나면 중간 선이 그 선의 중간을 지나야 함을 의미합니다. 그리고 파생 상품이 항상 양수라는 사실은 함수가 항상 커지기 때문에 축을 두 번 통과 할 수 없다는 것을 의미합니다.