분리 가능한 미분 방정식을 풀고 초기 조건을 만족하는 특정 해를 찾는 방법 y (-4) = 3?

대답:

일반 솔루션: #color (빨강) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "#

특정 솔루션: #color (파란색) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

설명:

주어진 미분 방정식으로부터 #y '(x) = sqrt (4y (x) +13) #

메모해라. #y '(x) = dy / dx # 과 #y (x) = y #따라서

# dy / dx = sqrt (4y + 13) #

양측을 #sqrt (4y + 13) #

# dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = sqrt (4y + 13) / sqrt (4y + 13) #

# dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = 1 #

양쪽에 # dx #

# dx * dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

#cancel (dx) * dy / cancel (dx) (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

# dy / sqrt (4y + 13) = dx #

바꾸어 놓다 # dx # 왼쪽으로

# dy / sqrt (4y + 13) -dx = 0 #

양쪽에 통합하면 다음과 같은 결과가 나타납니다.

#int dy / sqrt (4y + 13) -int dx = int 0 #

# 1 / 4 * int (4y + 13) ^ (- 1/2) * 4 * dy-int dx = int 0 #

# 1 / 4 * (4y + 13) ^ (-1 / 2 + 1) / ((1-1 / 2)) - x = C_0 #

# 1 / 2 * (4y + 13) ^ (1/2) -x = C_0 #

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = 2 * C_0 #

#color (빨강) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) ""#일반 솔루션

그러나 #y (-4) = 3 # 언제 # x = -4 #, # y = 3 #

이제 우리는 다음과 같이 풀 수 있습니다. # C_1 # 특정 솔루션을 해결하기 위해

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1 #

# (4 (3) +13) ^ (1/2) -2 (-4) = C_1 #

# C_1 = 13 #

따라서 우리의 특별한 해결책은

#color (파란색) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

신의 축복이 …. 나는 그 설명이 유용하길 바란다.

대답:

# y = x ^ 2 + 13x + 36 #,와 함께 #y> = - 13 / 4 #.

설명:

#y> = - 13 / 4 #, 만들다 #sqrt (4y + 13) # 레알..

재정비, #x '(y) = 1 / sqrt (4y + 13) #

그래서, # x = int 1 / sqrt (4y + 13) dy #

# = (4/2) sqrt (4y + 13) + C #

사용 #y = 3, x = -4, C = -`13 / 2 #

그래서. #x = (1/2) (sqrt (4y + 13) - 13) #

반대로. #y = (1/4) ((2x + 13) ^ 2 - 13) = x ^ 2 + 13x + 36 #