대답:
아래 설명을 참조하십시오.
설명:
함수는 다음과 같습니다.
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
부분 파생 상품은
# (delf) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) = 2y + x-3 #
방해 # (delf) / (delx) = 0 # 과 # (delf) / (dely) = 0 #
그때, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0)
#=>#, # {(x = -3), (y = 3):} #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
헤센 행렬은 다음과 같습니다.
(del 2f) / (del x 2f) / (del x 2d)), ((del 2f) / (delydelx), (del 2f) / (dely ^ 2)))) #
행렬식은 다음과 같습니다.
# (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
따라서, 안장 점이 없습니다.
#D (1,1)> 0 # 과 # (del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #, 지역 최소값은 #(-3,3)#
대답:
지역 최소값: #(-3,3)#
설명:
극한값과 안장 값을 모두 포함하는 점의 그룹은 # (delf) / (delx) (x, y) # 과 # (delf) / (dely) (x, y) # 0과 같다.
가정 #엑스# 과 #와이# 독립 변수입니다:
# (delf) / (delx) (x, y) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) (x, y) = x + 2y-3 #
그래서 우리는 두 개의 연립 방정식을 가지고 있습니다. 행복하게 선형이됩니다:
# 2x + y + 3 = 0 #
# x + 2y-3 = 0 #
처음부터:
# y = -2x-3 #
두 번째로 대체하십시오.
# x + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# x-4x-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# x = -3 #
첫 번째로 대체하십시오.
# 2 (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
# y = 3 #
따라서 첫 번째 파생물이 극값 또는 안장 중 어느 하나가 제로가되는 지점이 있습니다. # (x, y) = (- 3, 3) #.
우리가 2 차 미분의 행렬을 계산해야하는 것을 추론하기 위해, 헤센 행렬 (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
그러므로
# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / = ((2,1), (1,2)) #
모든 2 차 미분은 모든 값이 #엑스# 과 #와이#따라서 관심 지점에 대한 값을 구체적으로 계산할 필요가 없습니다.
주의 차별의 순서는 연속 2 차 미분을 갖는 함수 (Clairault의 정리, 여기 응용: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives)에 대해서는 중요하지 않으므로 # (del ^ 2f) / (delxdely) = (del ^ 2f) / (delydelx) #우리가 위에서 언급 한 구체적인 결과에서 볼 수 있듯이.
이 두 변수의 경우, 우리는 헤 시안의 결정 요인으로부터 점의 유형을 추론 할 수있다. # (del ^ 2f) / (del ^ 2f) / (dely ^ 2) - (del ^ 2f) / (delxdely).
관리 할 테스트 형식은 다음과 같습니다.
행렬식은 다음과 같다. #>0#, 그렇다. # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) #. 그래서 우리는 #(-3,3)#, 0 차 1 차 미분의 유일한 점은 함수의 국소 최소값입니다.
1 차원 함수 질문에 대한 온전한 체크로서, 나는 보통 그래프를 게시하지만, 소크라테스는 2 차원 함수에 적합한 표면 또는 등고선 플로팅 기능을 가지고 있지 않다. 그래서 나는 두 가지 기능을 과장 할 것이다. #f (-3, y) # 과 #f (x, 3) #, 우리를 위해 전체 기능 영역을 특징 짓지는 않지만, 그들 사이의 최소값을 보여줄 것입니다. # y = 3 # 과 # x = -3 #, 동일한 함수 값 가져 오기 # f = -5 # 각 경우에.
같이 #f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
#f (-3, y) = y ^ 2-6y + 4 #
#f (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #
그래프 {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6,
