무한 적분 : sqrt (10x-x ^ 2) dx?

대답:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + c #

설명:

#int ""sqrt (10x-x ^ 2) ""dx #

광장을 완성하고, #int "sqrt (25- (x-5) ^ 2)" "dx #

대용품 # u = x-5 #, #int ""sqrt (25-u ^ 2) ""du #

대용품 # u = 5sin (v) # 과 # du = 5cos (v) #

#int "5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v))" "dv #

단순화, #int "(5cos (v)) (5cos (v))" "dv #

수정, #int "25cos ^ 2 (v)" "dv #

상수, # 25int ""cos ^ 2 (v) ""dv #

이중 각 공식 적용, # 25int ""(1 + cos (2v)) / 2 ""dv #

상수, # 25 / 2int ""1 + cos (2v) ""dv #

통합, # 25 / 2 (v + 1 / 2sin (2v)) "+ c #

뒤를 대체하다 # v = arcsin (u / 5) # 과 # u = x-5 #

# 25 / 2 (arcsin ((x-5) / 5) + 취소 (1 / 2sin) (취소 (2arcsin) ((x-5) / 5))) "+

단순화, # 25 / 2 (arcsin ((x-5) / 5)) + 25/2 ((x-5) / 5) + c #

수정, # 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) +5 / 2 (x-5) + c #, 어디서 #기음# 통합의 상수이다.

Tadaa: D

대답:

(x-5) / 5) + c # 1 / 2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin

설명:

무엇입니까 #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

통합되는 함수의 도메인은 내부 2 차항이 양의 값, 즉 #x in 0, 10 #

이 표현식은 대체를 사용하여 통합 될 수 있습니다. 통합을위한 가능한 경로가 즉시 나타나지는 않지만, 우리가 사각형을 경쟁하면 삼각법 대체가 수행 될 수 있습니다.

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

우리는 고전적인 삼각법 대체 형식 즉, 숫자의 제곱에서 선형의 제곱을 뺀 형식을 알고 있습니다. #엑스# 기능.

먼저 선형을 제거하기 위해 #u = x-5 #,주는 # du = dx #따라서 위의 적분을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

이제 두 번째 대체를 위해 #u = 5sintheta #적분을 다음과 같이 변경합니다.

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (절대 값 대괄호를 무시할 수 있음)

물론, # dx # 도움이되지 않으므로 대체 방정식을 차별화하여 다음을 얻습니다. #du = 5costheta d theta #, 따라서 적분은 다음과 같습니다.

# 25 int cos ^ 2 theta d theta #

이제 우리는 double angle 공식을 사용하여 # cos ^ 2 theta # 더 쉬운:

#cos (2 세타) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1 / 2 (cos (2theta) +1) #

따라서 적분은 다음과 같습니다.

# 25 / 2 int cos (2theta) + 1dta #

# = 25 / 2 (1 / 2sin (2θ) + theta) + c #

# = 25/2 (신타 코스트 헤타 + 세타) + c # (더블 앵글 수식 사용)

지금, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

금후, #cos theta = sqrt (1-u ^ 2 / 25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

과, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

25 + arcsin ((x-5) / 5)) + c # 25/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20)

(x-5) / 5) + c # 1 / 2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin