자연 수로 다음 방정식을 풀어 라. x² + y² = 1997 (x-y)?

대답:

# (x, y) = (170, 145) # 또는 # (x, y) = (1817, 145) #

설명:

다음의 증거는 Ditu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu가 쓴 "Diophantine 방정식 소개: 문제 기반 접근법"이라는 책의 내용을 기반으로합니다.

주어진:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 1997 (x-y) #

방해 #a = (x + y) # 과 #b = (1997-x + y) #

그때:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

(1997 (x-y) + xy) # = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2

# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) #

#=1997^2#

따라서 우리는 다음을 찾는다.

# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + y <1997):} #

이후 #1997# 소수입니다, #에이# 과 #비# 공통 인자가 없다. #1#.

따라서 양의 정수가 존재합니다. #m, n # 와 #m> n # 공통 인자는 #1# 그러한:

} {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = 2mn), (b = m ^ 2-n ^ 2):} 색 (흰색) (XX) {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2-n ^ 2), (b = 2mn)

보면서 # 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # 모드에서 #3# 및 모드 #5# 산술, 우리는 발견:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (모드 #3#) 그러므로 #m - = + 1 # 과 #n - = + 1 # (모드 #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (모드 #5#) 그러므로 #m - = + 1 # 과 #n - = + 1 # (모드 #5#)

즉, #m, n # 모듈러스 #15# 아르 #1, 4, 11, 14#.

또한 유의 사항:

# m ^ 2 in (1997/2, 1997) #

금후:

#m in (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~~ (31.6, 44.7) #

그래서 유일한 가능성은 #엠# 아르 #34, 41, 44#

우리는 찾는다:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# 완벽한 광장이 아닙니다.

#1997 - 44^2 = 61# 완벽한 광장이 아닙니다.

그래서 # (m, n) = (34, 29) #

그래서:

# (a, b) = (2mn, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315) #

또는

# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972) #

#color (흰색) () #

만약 # (a, b) = (1972, 315) # 그때:

# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315):} #

따라서:

# (x, y) = (1817, 145) #

#color (흰색) () #

만약 # (a, b) = (315, 1972) # 그때:

# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972):} #

따라서:

# (x, y) = (170, 145) #