Int (dt) / (t-4) ^ 2의 1에서 5까지의 적분을 어떻게 평가합니까?

대답:

대용품 # x = t-4 #

대답은, 만약 당신이 실제로 적분을 찾도록 요구된다면:

#-4/3#

그 지역을 찾으면 그렇게 간단하지 않습니다.

설명:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

세트:

# t-4 = x #

따라서 미분:

# (d (t-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# dt = dx #

그리고 한계:

# x_1 = t_1-4 = 1-4 = -3 #

# x_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

이제 다음 세 가지 값을 대체하십시오.

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1dx / x ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1x ^ -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) x ^ (-2 + 1) _ (- 3) ^ 1 #

# - x ^ -1 _ (- 3) ^ 1 #

# - 1 / x _ (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

노트: 너가 지역을 발견하는 방법을 가르쳐주지 않으면 이것을 읽지 마라.. 이것이 실제로 두 제한 사이의 영역을 나타내야하고 항상 양수이기 때문에 양수 여야합니다. 그러나이 함수는 연속적이지 않은 …에서 # x = 4 # 그래서이 적분은 당신이 원한 것이라면 면적을 나타내지 않습니다. 좀 더 복잡합니다.

대답:

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

설명:

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 ""t-2 = u ";"dt = d u #

# int_1 ^ 5 (d u) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^ (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

1 / (t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

1 / ((1-2)) + 1 / ((1-2)) = 1 / ((5-2)) +

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

대답:

얼마나 많은 통합을했는지에 따라 "가장 좋은"대답은 "통합이 정의되지 않았습니다"(아직) 또는 "완전한 발산"

설명:

우리가 평가하려고 할 때 # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, integrand는 우리가 통합 할 간격에 정의되어 있는지 확인해야합니다.

# 1 / (x-4) ^ 2 # 에 정의되지 않았습니다. #4#, 그래서 그것은 아니 전체 간격에 정의 됨 #1,5#.

미적분학의 초기 연구, 우리는 다음으로 시작하여 적분을 정의합니다.

"방해 #에프# 간격에 정의되다. # a, b #… '

우리 연구의 초기에 가장 좋은 대답은

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# 정의되지 않았습니다. (아직?)

나중에 우리는 정의를 확장한다. "부적절한 적분"

무제한 간격의 적분 (# (- oo, b) #, # a, oo) # 과 # (- oo, oo) #) 또한 피고 정의가 정의되지 않은 지점을 갖는 간격.

평가 (시도) # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, 우리는 두 가지 부적절한 적분 # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(integrand는 여전히 이들에 정의되어 있지 않다는 점에 유의하십시오. 닫은 간격.)

이 방법은 피고 정의가 정의되지 않은 지점을 변수로 대체 한 다음 해당 변수가 숫자에 접근 할 때 한계를 취하는 것입니다.

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

먼저 필수 요소를 찾아 보겠습니다.

# int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b-4)) - (- 1 / (- 3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

한도 찾기 # brarr4 ^ - #한계가 존재하지 않는다는 것을 알 수 있습니다. (같이 # brarr4 ^ - #, 의 가치 # -1 / (b-4) # 제한없이 증가합니다.)

따라서 #1,4# 존재하지 않으므로 #1,5# 존재하지 않는다.

우리는 정수가 발산한다고 말합니다.

노트

어떤 이들은 이렇게 말할 것입니다. 정의 적분에 대한 정의를 만족시키는 어떤 숫자도 존재하지 않는다.