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방해 # a = p / q # 어디에 #피# 과 #큐# 양의 정수입니다.
# 1ltp / q # 따라서 # qltp #. # p / qlt2 # 따라서 # plt2q #. 따라서 # qltplt2q #.
(pq) = (p ^ 2 + q ^ 2) / (pq) = (p ^ 2 + q) / (pq) (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) -2 / (pq)
(p + q) 2 / (pq) lt (2q + q) ^ 2 / (2qq) #*
(pq) 2 / (pq) lt (3q) ^ 2 / (2q ^ 2) #
# (4q ^ 2) / q ^ 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (9q ^ 2) / (2q ^ 2) #
# 4lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt9 / 2 #
# 4-2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt9 / 2-2 #
# 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt5 / 2 #
# 2lta + 1 / alt5 / 2 #
# 5 / 2lt6 / 2 #
# 5 / 2lt3 #
# 2lta + 1 / alt3 #
~ ~보다 진보 된 주제 ~~
* 이것은 다음과 같이 가정합니다. #피# 증가, # (p + q) ^ 2 / (pq) # 증가합니다. 이 그래프는 직관적으로 확인할 수 있습니다. # y = (x + q) ^ 2 / (xq) # …에 #x in (q, 2q) # 다양한 양의 값에 대한 #큐#, 또는 아래의 미적분 과정에 의해.
~
(delp) (p + q) ^ 2 / p = 1 / q (pdel / (delp) ((p + q) ^ 2 - (p + q) ^ 2 (p + q) ^ 2) / p ^ 2 = (2p ^ 2 + 2pq) - (p ^ 2 + 2pq + q ^ 2)) / (p ^ 2q) = (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) #.
에 #p in (q, 2q) #:
이후 # pgtqgt0 #, # p ^ 2gtq ^ 2 # 그러므로 # p ^ 2-q ^ 2gt0 #.
이후 #q> 0 #, # p ^ 2qgt0 #
이후 # p ^ 2-q ^ 2gt0 # 과 # p ^ 2qgt0 #, # (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 #
이후 (delta) (p + q) ^ 2 / (pq) = (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) # 과 # (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 #, # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) gt0 #
따라서 # (p + q) ^ 2 / (pq) # 상수에 대해 증가하고있다. #큐# 과 # qltplt2q # 때문에 # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) # 긍정적입니다.
~~~~
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여기 제약 (1):
# 1 <a <2 #
제약 조건 (2):
상호 정리에 의해, # 1 / 1> 1 / a> 1 / 2 #
# 1> a> 1 / 2 #
제약 조건 1에서 양쪽에 1을 더하고, # 1 + 1 <a + 1 <2 + 1 #
# 2 <a + 1 <3 #
#color (빨강) (a + 1 <3) #
동일한 제약 조건에서 1/2
# (1 + 1 / 2) <(a + 1 / 2) <(2 + 1 / 2) #
다시 말하지만, #2 <2+1/2#
그래서 # a + 1 / 2 # 2보다 작아야합니다.
#color (빨강) (a + 1 / 2) <2 #
그러므로 제약 2에서, # 1> a> 1 / 2 #
에 양쪽을 추가하십시오, # 1 + a> a + 1 / a> 1 / 2 + a #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 #
우리는 그렇게했습니다. # a + 1 <3 #
그래서 # a + 1 / a # 3보다 작아야합니다.
다시 # a + 1 / 2 <2 # 그러나이 제약에서 # a + 1 / a> a + 1 / 2 #
그래서, # a + 1 / a # 2보다 커야합니다.
금후, # 1> 1 / a> 1 2 #
양쪽에 a를 추가함으로써, # 1 + a> a + 1 / a> a + 1 / 2 #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 # 입증 된
