Int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx는 무엇입니까?

대답:

# 1023 / 5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

설명:

이 설명은 약간 길지만 빨리 할 수있는 방법을 찾지 못했습니다 …

적분은 선형 응용 프로그램이므로 이미 정수 기호 아래 함수를 분할 할 수 있습니다.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

2 개의 첫 번째 항은 다항식 함수이므로 쉽게 통합 할 수 있습니다. 어떻게하는지 보여줍니다. # x ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5 / 5 # 그래서 # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5 / 5 - 1/5 = 1023 / 5 #. 당신은 똑같은 일을 # x ^ 3 #, 그 결과는 다음과 같다. #255/4#.

발견 #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx # 조금 길고 복잡합니다. 먼저 분수를 곱하면됩니다. #sqrt (x-1) / sqrt (x-1) # 그런 다음 변수를 변경합니다. #u = sqrt (x-1) #. 그래서 # du = 1 / (2sqrt (x-1)) dx # 너는 이제 찾아야 해. # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #. 그것을 찾으려면, 당신은 합리적인 함수의 부분 분수 분해가 필요합니다. # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

(x ^ 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 +1) + (cx + d) / 와 RR #의 # a, b, c, d. 미적분 후에 우리는 (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 +1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #, 의미하는 것은 # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2) #

#int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2 # 잘 알려져있다. #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

마지막으로, (1 + u ^ 2))) = arctan (u) -u / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (arctan (u) - arctan (1 + u ^ 2) #

너 대체 할거야. #유# 원래의 표현으로 #엑스# 가지고있다 #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx #, 이는 #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

결국, # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #