(arctan (x)) / (x)에 대한 멱급수 표현을 어떻게 구하고 수렴 반경은 무엇입니까?

대답:

파생 상품의 멱급수를 통합하십시오. #arctan (x) # 다음으로 나눕니다. #엑스#.

설명:

우리는 멱급수 표현을 알고 있습니다. # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # 그렇게 #absx <1 #. 그래서 (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

그래서의 힘 시리즈 #arctan (x) # ~이다. (2n) dx = sum_n ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ #.

너는 그것을 다음과 같이 나눈다. #엑스#, 당신은 힘 시리즈의 #arctan (x) / x # ~이다. #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. 의 말을하자 #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

이 멱급수의 수렴 반경을 구하기 위해 #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

(2n + 1) / (2n + 2) / (2n + 1) / ((-1) ^ nx1) (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. 따라서 우리가 힘의 수렴을 원한다면 우리는 #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, 그래서 시리즈는 수렴 할 것입니다. #absx <1 #이것은 힘 시리즈 표현의 수렴 반경이기 때문에 놀라운 일이 아닙니다. #arctan (x) #.