F (x) = sinhx에 대한 MacLaurin의 공식을 어떻게 구하고 이것을 0.01 내에서 f (1/2)에 근사시키는 데 사용합니까?

대답:

#sinh (1/2) ~ ~ 0.52 #

설명:

우리는 #sinh (x) #:

#sinh (x) = (e ^ x-e ^ -x) / 2 #

우리가 Maclaurin 시리즈를 알고 있기 때문에 # e ^ x #, 우리는 이것을 사용하여 #sinh (x) #.

# o ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2 / 2 + x ^ 3 / (3!) … #

우리는 시리즈를 찾을 수 있습니다. # e ^ -x # 대체하여 #엑스# 와 #-엑스#:

^ n / (n!) x ^ n = 1 (n은 0) ^ oo (-1) ^ n -x + x ^ 2 / 2-x ^ 3 / (3!) … #

우리는이 두 가지를 빼서 분자를 발견 할 수 있습니다. # sinh # 정의:

1 + x + x ^ 2 / 2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (흰색) (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

#color (흰색) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2 / 2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 /) … #

(2x ^ 3) / (3!) 색상 (흰색) (lllllllll) + (2x ^ 5) /) … #

우리는 모든 짝수 조건이 취소되고 모든 이상한 용어가 두 배가된다는 것을 알 수 있습니다. 이 패턴은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

x ^ (2n + 1) # ^ e-x = sum_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)

완료하려면 #sinh (x) # 우리는 이것을 다음과 같이 나눌 필요가 있습니다. #2#:

x ^ (2n + 1) = # (x ^ e-x) = 2 (sin2 (xn)

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!

이제 우리는 #f (1 / 2) # 최소한의 정확도로 #0.01#. 우리는 n 차도 테일러 다항식에 대해이 Lagrange 오차의 일반적인 형태를 알고 있습니다. # x = c #:

(x-c) ^ (n + 1) | # | R_n (x) | <= | M / (n + 1) 어디에 #엠# 간격에서 n 번째 미분의 상한값 #기음# 에 #엑스#.

우리의 경우 확장은 Maclaurin 시리즈이므로 # c = 0 # 과 # x = 1 / 2 #:

(n + 1) | (1/2) ^ (n + 1) | # | R_n (x) | <= | M /

고차 파생 상품 #sinh (x) # 어느 쪽이든 #sinh (x) # 또는 #cosh (x) #. 우리가 그 정의를 고려한다면, 우리는 #cosh (x) # 항상보다 큽니다. #sinh (x) #, 그래서 우리는 #엠#~에 대한 #cosh (x) #

하이퍼 볼릭 코사인 함수는 항상 증가하므로 간격의 최대 값은 다음과 같습니다. #1 / 2#:

(sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M (1 / 2) #

이제 이것을 Lagrange 에러 바운드에 연결합니다.

(n + 1) # (1/2) ^ (n-1) # (2)

우리가 원하는 # | R_n (x) | # 보다 작다 #0.01#그래서 우리는 #엔# 우리가 그 점에 도달 할 때까지 값 (다항식의 항의 양이 적을수록 좋다). 우리는 # n = 3 # 우리는 오차 범위보다 작은 오차를 줄 수있는 첫 번째 값입니다. #0.01#그래서 우리는 3도 테일러 다항식을 사용할 필요가 있습니다.

#sinh (1/2) ~ ~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1)! = 336169 / 645120 ~ ~ 0.52 #