질량 M과 길이 L의 각각 3 개의 막대가 함께 결합되어 정삼각형을 형성합니다. 축이 질량 중심을 통과하고 삼각형의 평면에 수직 인 축에 대한 시스템의 관성 모멘트는 무엇입니까?

대답:

# 1 / 2 ML ^ 2 #

설명:

중심을 통과하고 그에 수직 인 축에 대한 단일 막대의 관성 모멘트는 다음과 같습니다.

# 1 / 12 ML ^ 2 #

삼각형의 중심을 통과하고 평면에 수직 인 축에 대한 정삼각형의 각 변의 그것은

# 1 / 12ML ^ 2 + M (L / (2sqrt3)) ^ 2 = 1 / 6ML ^ 2 #

(평행 축 정리에 의해).

이 축에 대한 삼각형의 관성 모멘트는 다음과 같습니다.

# 3 times 1/6 ML ^ 2 = 1 / 2 ML ^ 2 #

로드가 얇은 것으로 가정하면, 각로드의 질량 중심 위치는로드의 중심에있다. 로드가 정삼각형을 형성함에 따라, 시스템의 질량 중심은 삼각형의 중심에있게됩니다.

방해 #디# 어느 쪽에서도 중심으로부터 멀어지는 거리.

# d / (L / 2) = tan30 #

# => d = L / 2tan30 #

# => d = L / (2sqrt3) # …..(1)

평행 축 therorm을 사용하여 삼각형의 평면에 수직 한 중심을 통과하는 축에 대한 단일 막대의 관성 모멘트

#I_ "rod"= I_ "cm"+ Md ^ 2 #

유사하게 배치 된 3 개의로드가 있으므로 3 개의로드의 총 관성 모멘트는

#I_ "시스템"= 3 (I_ "cm"+ Md ^ 2) #

# => I_ "시스템"= 3I_ "cm"+ 3Md ^ 2 # …….(2)

(1)을 사용한 2 학기는 다음과 같습니다.

# 3Md ^ 2 = 3M (L / (2sqrt3)) ^ 2 #

# => 3Md ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # …..(3)

질량 중심에 대한 하나의 막대의 관성 모멘트가

#I_ "cm"= 1 / 12ML ^ 2 #

(2)의 첫 번째 용어는 다음과 같이됩니다.

# 3I_ "cm"= 3xx1 / 12ML ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # ….(4)

(3)과 (4)를 이용하면, 식 (2)는

#I_ "시스템"= 1 / 4ML ^ 2 + 1 / 4ML ^ 2 = 1 / 2ML ^ 2 kgm ^ 2 #