대답:
보통 선: # y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #. 접선: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.
설명:
직감에 대해서: 함수가 #f (x, y) = e ^ xln (y) - xy # 일부 지형의 높이를 설명합니다. #엑스# 과 #와이# 평면상의 좌표이고 #ln (y) # 자연 대수라고 가정합니다. 그럼 모두 # (x, y) # 그렇게 #f (x, y) = a # (높이)는 일정한 상수와 같습니다 #에이# 레벨 곡선이라고 부릅니다. 우리의 경우 일정한 높이 #에이# 왜냐하면 #f (x, y) = 0 #.
닫힌 선이 같은 높이의 선을 나타내는 지형지도를 잘 알고있을 것입니다.
이제 그라디언트 #grad f (x, y) = (부분 f) / (부분 x), (부분 f) / (부분 x) # 우리에게 한 지점에서 방향을 제시한다. # (x, y) # 어느 곳에 #f (x, y) # (높이)가 가장 빠르게 변경됩니다. 이것은 우리의 지형이 부드럽고 (차별화 될 수있는 한) 언덕 위를 똑바로 또는 똑바로 내려가는 것입니다. 그리고 우리는 꼭대기, 바닥 또는 고원 (극값 지점)에 있지 않습니다. 사실 이것은 일정한 높이의 곡선에 대한 법선 방향이므로 # (x, y) = (2, e ^ 2) #:
(e ^ 2, e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1) #.
따라서 법선 그 방향으로 # (2, e ^ 2) # 다음과 같이 설명 할 수있다.
# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, 어디에 #s in mathbbR # 진짜 매개 변수입니다. 당신은 제거 할 수 있습니다. #에스# 표현 #와이# 에 따라 #엑스# 원한다면
# y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.
탄젠트 방향의 방향 도함수는 #0# (높이가 변하지 않는다는 것을 의미), 그래서 접선 벡터 # (u, v) # 만족해야한다
#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #
# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #
# e ^ 2u - v = 0 #
# v = e ^ 2u #, 어디에 # cdot # 내적을 의미합니다. 그래서 # (u, v) = (1, e ^ 2) # 하나의 유효한 선택입니다. 따라서 접선 를 통과 # (2, e ^ 2) # 다음과 같이 설명 할 수있다.
# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t in mathbbR #.
해결을위한 #와이# 그걸 준다.
#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.
마침내 확인해야합니다. # (2, e ^ 2) # 곡선에있다 #f (x, y) #, 접선 및 법선에 표시됩니다.
