이 방정식은 어떻게 풀 수 있습니까?

대답:

# "설명보기"#

설명:

# "우선 이성적인 뿌리를 찾기 위해 합리적인 뿌리 정리를 적용하십시오."#

# "우리는"x = 1 "을 합리적 루트로 찾았습니다."#

# "So"(x-1) "는 요인입니다. 우리는 그 요인을 멀리 나눕니다:"#

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "우리는 합리적인 뿌리가없는 나머지 3 차 방정식을 가지고 있습니다."#

# "Vieta 방식으로 대체하여 해결할 수 있습니다."#

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# ""x = y + 2 / 9 "를 대입하면"#

# y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0 #

# ""y = (sqrt (22) / 9) z "를 대입하면"#

# z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0 #

# ""z = t + 1 / t "를 대입하면"#

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0 #

# ""u = t ^ 3 "을 대입하면 2 차 방정식이됩니다:"#

# u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0 #

# "이 이차 방정식의 근원은 u = 5.73717252입니다."#

# "변수를 다시 대입하면 다음과 같이 나타납니다."#

#t = root (3) (u) = 1.79019073 #

#z = 2.34879043. #

#y = 1.22408929. #

#x = 1.44631151. #

# "다른 뿌리는 복잡합니다:"#

# -0.38982242 pm 0.55586071 i. #

# "(그들은 나누어서 찾을 수 있습니다"(x-1.44631151)) #

대답:

이성적인 실수는 # x = 1 #.

그렇다면 불합리한 실수가 있습니다.

# x_1 = 1/9 (2 + root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113)))

관련된 실제가 아닌 복합 제로.

설명:

주어진:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

계수의 합은 다음과 같습니다. #0#.

그건: #3-5+2 = 0#

따라서 우리는 # x = 1 # 0이고 # (x-1) # 요인:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#color (흰색) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

나머지 입방체는 다소 복잡합니다 …

주어진:

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

Tschirnhaus 변형

입방체를보다 간단하게 해결하기 위해 Tschirnhaus 변환이라고하는 선형 대입을 사용하여 입방체를 더 간단하게 만듭니다.

# 0 = 243f (x) = 729x ^ 3-486x ^ 2-486x-486 #

# = (9x-2) ^ 3-66 (9x-2) -610 #

# = t ^ 3-66t-610 #

어디에 # t = (9x-2) #

카르 다노의 방법

우리는 다음과 같은 문제를 해결하고자합니다.

# t ^ 3-66t-610 = 0 #

방해 # t = u + v #.

그때:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-22) (u + v) -610 = 0 #

제약 조건 추가 # v = 22 / u # 그 (것)들을 제거하기 위하여 # (u + v) # 임기:

# u ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0 #

~을 통해 곱하기 # u ^ 3 # 다음과 같이 약간 재정렬하십시오.

# (u ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10648 = 0 #

이차 공식을 사용하여 다음을 찾습니다.

# u ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372100-42592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

이것이 실제이므로 유도는 대칭입니다. #유# 과 #V#, 우리는이 뿌리 중 하나를 사용할 수 있습니다. # u ^ 3 # 다른 하나는 # v ^ 3 # 진짜 루트를 찾으려면:

# t_1 = root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113)) #

및 관련 복합 뿌리:

# t2 = 오메가 루트 (3) (305 + 27sqrt (113)) + 오메가 ^ 2 루트 (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = 오메가 ^ 2 루트 (3) (305 + 27sqrt (113)) + 오메가 루트 (3) (305-27sqrt (113)) #

어디에 # omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i # 는 원시 큐브 루트의 #1#.

지금 # x = 1 / 9 (2 + t) #. 그래서 우리의 원래 입방의 뿌리는 다음과 같습니다:

# x_1 = 1/9 (2 + root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113)))

(3) (305 + 27sqrt (113)) + 오메가 ^ 2 루트 (3) (305-27sqrt (113)) #

(3) (305 + 27sqrt (113)) + 오메가 루트 (3) (305-27sqrt (113))) # x_3 = 1/9