광장을 완성하는 것이 왜 유용한가요? + 예제

대답:

이차 표현을 단순화하여 제곱근으로 풀 수있게합니다.

설명:

사각형을 완성하는 것은 Tschirnhaus 변환의 예입니다. 다항식을 단순한 형태로 줄이기 위해 대입 (암시 적 임에도 불구하고)을 사용합니다.

그래서 주어진:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 ""# 와 #a! = 0 #

우리는 다음과 같이 쓸 수있다:

# 0 = 4a (ax ^ 2 + bx + c) #

#color (white) (0) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac #

#color (흰색) (0) = (2ax) ^ 2 + 2 (2ax) b + b ^ 2- (b ^ 2-4ac) #

#color (흰색) (0) = (2ax + b) ^ 2- (sqrt (b ^ 2-4ac)) ^ 2 #

#color (white) (0) = ((2ax + b) -sqrt (b ^ 2-4ac)) ((2ax + b) + sqrt (b ^ 2-4ac)

#color (white) (0) = (2ax + b-sqrt (b ^ 2-4ac)) (2ax + b + sqrt (b ^ 2-4ac)

금후:

# 2ax = -b + -sqrt (b ^ 2-4ac) #

그래서:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

따라서 2 차 방정식을 다음과 같은 형태로 시작했습니다.

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

우리는 그것을 형식으로 얻었다. # t ^ 2-k ^ 2 = 0 # 와 #t = (2ax + b) # 과 # k = sqrt (b ^ 2-4ac) #선형 항이 제곱 된 항을 제거함으로써 제거됩니다.

우리가 제곱근을 계산하는 것이 행복하면, 이제는 어떤 2 차 방정식을 풀 수 있습니다.

사각형 완성은 원, 타원 또는 다른 원추 곡선의 방정식을 표준 형식으로 가져 오는 데 유용합니다.

예를 들어, 주어진:

# x ^ 2 + y ^ 2-4x + 6y-12 = 0 #

우리가 찾은 광장 완성

# (x-2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 5 ^ 2 #

이 방정식을 중심이있는 원의 식으로 식별 할 수 있습니다. #(2, -3)# 반경 #5#.