대답:
(3x) / 2) + c # 2 × 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (-1)
설명:
이 문제를 이해하기 위해서는 # 4-9x ^ 2> = 0 #, 그래서 # -2 / 3 <= x <= 2 / 3 #. 따라서 우리는 # 0 <= u <= pi # 그렇게 # x = 2 / 3cosu #. 이것을 사용하여, 다음을 사용하여 적분에서 변수 x를 대입 할 수 있습니다. # dx = -2 / 3sinudu #: (4 -9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sindu = -4 / 27intcos ^ 2udu # 여기 우리는 그것을 사용합니다. # 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u # 그리고 # 0 <= u <= pi # #sinu> = 0 #.
이제 부품을 이용한 통합을 통해 # intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #. 따라서 # intcos ^ 2udu = 1 / 2 (sinucosu + u + c) #.
그래서 우리는 발견했다. #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #, 이제 우리는 #엑스# 다시 #유#, using # u = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #, 그래서 (3x) / 2 (2x10 ^ 2) / 2x10 ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (-1)) + c #.
우리는 사인과 코사인의 정의를 삼각형으로 정의함으로써이를 더욱 단순화 할 수 있습니다. 각도가있는 직각 삼각형의 경우 #유# 비 - 우측 모서리들 중 하나에서, # sinu = "반대편"/ "가장 긴면"#, 동안 # cosu = "인접한 쪽"/ "가장 긴 쪽"#, 우리가 알고 있기 때문에 # cosu = (3x) / 2 #, 우리는 인접한면을 선택할 수 있습니다. # 3x # 가장 긴면은 #2#. 피타고라스의 정리를 사용하면 반대편이 #sqrt (4 ~ 9x ^ 2) #, 그래서 #sin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. 따라서 (3x) / 2) + c # 2 × 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (-1).
