주석 [1,2]에서 r (t) = (t, t, t)의 호 길이는 얼마인가?

대답:

#sqrt (3) #

설명:

우리는 벡터 함수의 호 길이를 구합니다.

# bb (ul r (t)) = << t, t, t >> # …에 대한 #t in 1,2 #

우리는 다음을 사용하여 쉽게 평가할 수 있습니다.

# L = int_alpha ^ beta || bb (ul (r ') (t)) || dt #

그래서 우리는 파생 상품을 계산합니다. # bb (ul (r ') (t)) #:

# bb (ul r '(t)) = << 1,1,1 >> #

따라서 우리는 호 길이를 얻습니다:

# L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt #

# = sqrt (3) t _1 ^ 2 #

# = sqrt (3) (2-1) #

# = sqrt (3) #

이 사소한 결과는 주어진 원래 방정식이 직선의 방정식이므로 놀랄 일이 아닙니다.