대답:
4에 대한 답변은 다음과 같습니다. # e ^ -2 #.
설명:
문제는:
#lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #
이제 이것은 어려운 문제입니다. 이 솔루션은 매우 신중한 패턴 인식에 있습니다. 당신은 #이자형#:
# e = lim_ (u-> oo) (1 + 1 / u) ^ u ~~ 2.718 … #
한계를 정의에 가까운 것으로 다시 쓸 수 있다면 #이자형#, 우리는 우리의 대답을 얻을 것입니다. 자, 시도해 봅시다.
유의 사항 #lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) # 다음과 같습니다.
#lim_ (x-> oo) ((2x + 4-2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #
다음과 같이 분수를 나눌 수 있습니다.
#lim_ (x-> oo) ((2x + 4) / (2x + 4) -2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #
# = lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #
우리는 거기에 간다! 밖으로 나가자. #-2# 위아래에서:
#lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #
(2x + 2) # = lim_ (x-> oo) (1 + ((- 2)
(2x + 2) # -> lim_ (x-> oo) (1+ (취소 -2)) / (취소 (-2) (- x-2)
# = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #
대체물을 적용 해 보겠습니다. # u = -x-2-> x = -2-u #:
#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #
# = (1 + 1 / u) ^ (2 (-2-u) + 2 #
# = (1 + 1 / u) ^ (- 4-2u + 2) #
# = (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) #
지수의 속성은 다음과 같습니다. # x ^ (a + b) = x ^ ax ^ b #
그래서 #lim_ (x -> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) # 다음과 같습니다.
(1 + 1 / u) ^ (- 2u) (1 + 1 / u)
지수의 속성은 또한 다음과 같이 말합니다: # x ^ (ab) = x ^ (a ^ b) #
즉, 이는 다음으로 축소됩니다.
(1 + 1 / u) ^ (- 2) # (1 + 1 / u)
lim_ (x -> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) # = lim_ (x -> oo) (1 + 1 /
정의에 따르면, #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (u) = e #; 두 번째 한계에서 직접 대체를 사용하면 다음과 같이됩니다.
#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #
# = 1 / (1 + 1 / oo) ^ (2) #
#=1/(1+0)^(2)#
#=1/1^(2)=1#
그래서 해결책은 …
(1 + 1 / u) ^ (- 2) # lim_ (x -> oo) (1 + 1 / u)
# = (e) ^ - 2 (1) #
# = e ^ -2 #
