질문 # ecc3a

질문 # ecc3a
Anonim

대답:

2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C # (2x + 1)

설명:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) #

=#int (12dx) / (4x ^ 2 + 4x + 4) #

=# 6int (2dx) / (2x + 1) ^ 2 + 3 #

=# 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

대답:

(x2 + x + 1) dx = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #

설명:

우리가 분모와 분모에 2 차 방정식을 가질 때마다 #엑스#분자에서, 우리는 다음과 같은 형태로 적분을 얻고 싶습니다:

(1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

이 경우 정사각형을 완성한 다음 대체를 사용하면됩니다.

# x ^ 2 + x + 1 = (x + 1 / 2) ^ 2 + k #

# x ^ 2 + x + 1 = x ^ 2 + x + 1 / 4 + k #

# k = 3 / 4 #

# x ^ 2 + x + 1 = (x + 1 / 2) ^ 2 + 3 / 4 #

(x + 1 / 2) ^ 2 + 3 / 4) dx # 3int 1 / (x ^ 2 + x +

우리는 다음과 같은 u 치환을 도입하고자합니다.

# (x + 1 / 2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

우리는 다음과 같이 풀 수 있습니다. #엑스# 이 대체물이 무엇인지 알아 내려고

# x + 1 / 2 = sqrt3 / 2u #

# x = sqrt3 / 2u-1 / 2 #

관련하여 통합하려면 #유#,의 파생어로 곱한다. #엑스# ~에 관하여 #유#:

# dx / (du) = sqrt3 / 2 #

dx = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3 / 4) du = # 3int 1 / ((x + 1 / 2) ^ 2 + 3 / 4)

# = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du = 3 * sqrt3 / 2 * 4 / 3int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C #

이제 우리는 다음과 같이 풀 수 있습니다. #유# 의 관점에서 #엑스# 다시 대치하기:

# u = (2x + 1) / sqrt3 #

즉, 최종 답은 다음과 같습니다.

# 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #