대답:
2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C # (2x + 1)
설명:
#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) #
=#int (12dx) / (4x ^ 2 + 4x + 4) #
=# 6int (2dx) / (2x + 1) ^ 2 + 3 #
=# 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #
대답:
(x2 + x + 1) dx = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #
설명:
우리가 분모와 분모에 2 차 방정식을 가질 때마다 #엑스#분자에서, 우리는 다음과 같은 형태로 적분을 얻고 싶습니다:
(1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #
이 경우 정사각형을 완성한 다음 대체를 사용하면됩니다.
# x ^ 2 + x + 1 = (x + 1 / 2) ^ 2 + k #
# x ^ 2 + x + 1 = x ^ 2 + x + 1 / 4 + k #
# k = 3 / 4 #
# x ^ 2 + x + 1 = (x + 1 / 2) ^ 2 + 3 / 4 #
(x + 1 / 2) ^ 2 + 3 / 4) dx # 3int 1 / (x ^ 2 + x +
우리는 다음과 같은 u 치환을 도입하고자합니다.
# (x + 1 / 2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #
우리는 다음과 같이 풀 수 있습니다. #엑스# 이 대체물이 무엇인지 알아 내려고
# x + 1 / 2 = sqrt3 / 2u #
# x = sqrt3 / 2u-1 / 2 #
관련하여 통합하려면 #유#,의 파생어로 곱한다. #엑스# ~에 관하여 #유#:
# dx / (du) = sqrt3 / 2 #
dx = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3 / 4) du = # 3int 1 / ((x + 1 / 2) ^ 2 + 3 / 4)
# = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du = 3 * sqrt3 / 2 * 4 / 3int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #
# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C #
이제 우리는 다음과 같이 풀 수 있습니다. #유# 의 관점에서 #엑스# 다시 대치하기:
# u = (2x + 1) / sqrt3 #
즉, 최종 답은 다음과 같습니다.
# 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #