Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) 나중에 t = t_1에서, phi_n은 무한 잠재 우물의 에너지 고유 함수이다. E_0의 항으로 답을 적는다.

글쎄, 나는 # 14 / 5E_1 #… 그리고 선택한 시스템이 주어지면, 그것은 다음과 같은 측면에서 재 표현 될 수 없습니다. # E_0 #.

이 문제에서 너무 많은 양자 역학 규칙들이 깨졌습니다.

그만큼 # phi_0 #, 우리는 무한한 잠재 우물 솔루션을 사용하고 있기 때문에 자동으로 사라집니다 … #n = 0 #, 그래서 #sin (0) = 0 #.

그리고 맥락에서 우리는 # ψ_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) #…

그것은 불가능한 에 대한 답을 쓰려면 # E_0 # 때문에 #n = 0 # 무한한 잠재 우물에 존재하지 않습니다. 입자가 원하는 것이 아니라면 사라지다 , 나는 그것의 측면에서 그것을 써야만한다. # E_n #, #n = 1, 2, 3,… #…
에너지는 운동의 상수, 즉 # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

그래서 지금…

#psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L) #

기대 값은 모션의 상수이므로 시간이 마음에 들지 않습니다. # t_1 # 우리는 선택합니다. 그렇지 않으면 보수적 인 시스템이 아닙니다 …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # 일부 #n = 1, 2, 3,… #

사실, 우리는 이미 그것이 무엇인지 알아야한다. 왜냐하면 1 차원 무한 잠재력을위한 해밀턴은 시간에 독립적이기 때문이다.

#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

그리고 # (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*"(e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # 적분으로 1에 가라.

(x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (x, t) hIphi_1 (x, t) L) Phi_2 ^ "*"(x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

우리가시킨 곳 #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. 다시, 모든 위상 인자는 상쇄되고, 우리는 오프 대각선 항이 직교성 때문에 0이된다는 것을주의해야한다. # phi_n #.

분모는 # Psi #, 이는

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5 / 6 #.

따라서, # << Psi | Psi >> = 5 / 6 #. 그건:

(e ^ (i / 1) ^ 2) / 2 (L) sin ((pix) / L) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) (2m) (d ^ 2) / sin (dx ^ 2) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((2pix) / L) ((2pix) / L) cancel (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

파생 상품 적용:

sin ((pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 sin ((0) (2pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 sin ((2pix) / L) dx #

상수가 흘러 나와:

sin ((pix) / L) sin ((pix) / L) (2 / L) (2pix) / L) dx (2pix) / L) sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) #

그리고 이러한 통합은 육체적 인 이유 때문에 #0# 과 #엘#, 독립 #엔#:

2 / 2 + 1 / 2 (2 / 2) ^ 2) / (2 / 2 ^ 2) L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2)

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = 색상 (파란색) (14/5 E_1) #

대답:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1 / 2 E_2 = 6E_0 #

설명:

에너지 고유치에 해당하는 각 정지 상태 # E_n # 위상 인자를 집어 들다. #e ^ {- iE_n t} # 시간 진화에. 주어진 상태는 다음과 같습니다. 아니 정지 상태 - 다른 고유치에 속하는 에너지 고유 상태의 중첩이기 때문에. 결과적으로 시간이지나면서 진화하지 않을 것입니다. 그러나 시간의 상태 변화를 지배하는 Schroedinger 방정식은 선형 적이므로 각 구성 요소 에너지 고유 함수가 독립적으로 진화하여 자신의 위상 요소를 얻습니다.

그래서 시작 파 함수

# psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

시간이 지나면 진화한다. #티# 에

(xi, yi)는 다음과 같이 정의 할 수있다. Ψi (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / t}} #

따라서, 시간에서의 에너지 기대 값 #티# 에 의해 주어진다

(x, t) hat {H} psi_A (x, t) dx #

(1 / 3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) (xi) = {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ { (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx # 1 / ℏ t} + sqrt (1/2)

(1 / 3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 3) (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ {2} Φ (2) Φ (2) (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

우리는 #phi_i (x) # 에너지 고유 함수이므로, #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

이것은 여전히 우리에게 9 가지 조건을 제공합니다. 그러나 최종 계산은 에너지 고유 함수가 직교 정규화 (ortho-normalized) 즉 그들은 순종한다.

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

이것은 9 개의 적분 중 3 개만 생존한다는 것을 의미합니다.

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

표준 결과를 사용하여 #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, 우리는 # E_1 = 4E_0 # 과 # E_2 = 9E_0 # 무한 잠재력 우물을 위해 (당신은 #E_n propto n ^ 2 # 무한한 우물을 위해 - 그러나 이들 안에는 바닥 상태가 표시되어있다. # E_1 # - 여기에 라벨을 붙이고 있습니다. # E_0 # - 따라서 변화). 그러므로

E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

노트:

개별 에너지 고유 함수가 위상 인자를 선택함으로써 시간에 따라 진화하는 동안, 전체 파 함수 하지 않습니다 위상 인자 (phase factor)에 의해 초기 값과 다르다. 이것이 더 이상 정지 상태가 아닌 이유이다.
관련된 통합은

# int_-infty ^ infty psi_i (x) e_j psi_j e_ {{i_j /}} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / ℏt} times int_-infty ^ infty psi_i (x) psi_j (x) dx #

그리고 이들은 시간 의존적 인 것처럼 보입니다. 그러나 생존하는 유일한 통합은 # i = j # - 이것들은 정확하게 시간 의존성이 상쇄되는 것들입니다.
마지막 결과는 #hat {H} # 상태가 고정 된 상태가 아니더라도 에너지 보존 값은 시간과 무관합니다.
원래 웨이브 함수는 이미 정규화되어 있습니다. (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # 이 정규화는 시간 진화에서 보존된다.
우리는 표준 양자 기계 결과를 사용했다면 많은 작업을 줄일 수있었습니다 - 만약 웨이브 함수가 형태로 확장된다면 #psi = sum_n c_n phi_n # 어디서? # phi_n # Hermitian 연산자의 고유 함수 #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, 그 다음에 # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #물론, 주정부는 적절하게 표준화되어 있습니다.