지수 클래스의 FCF (Functional Continued Fraction)는 a_ (cf) (x, b) = a ^ a = e = 2.718281828 ..을 설정하면 e_ (cf) (0.1; 1) = 1.880789470, 거의 증명할 수 있습니까?

대답:

설명보기 …

설명:

방해 #t = a_ (cf) (x; b) #

그때:

(x + b / a) (x + b / a)) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t) #

다른 말로, #티# 매핑의 고정 점입니다.

# F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #

그 자체로, #티# 고정 점 # F (t) # 증명할만큼 충분하지 않다. #t = a_ (cf) (x; b) #. 불안정하고 안정적인 고정 점이있을 수 있습니다.

예를 들어, #2016^(1/2016)# 고정 점 #x -> x ^ x #,하지만 해결책은 아닙니다. # x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (해결책이 없습니다).

그러나 우리가 고려하자. #a = e #, #x = 0.1 #, #b = 1.0 # 과 #t = 1.880789470 #

그때:

(a, b, x) (t) = e ^ (0.1 + 1 / 1.880789470) #

# ~~ e ^ (0.1 + 0.5316916199) #

# = e ^ 0.6316916199 #

# ~~ 1.880789471 ~~ t #

그래서이 값은 #티# 고정 점에 매우 가깝다. # F_ (a, b, x) #

그것이 안정하다는 것을 증명하기 위해, 파생 상품을 #티#.

(0.1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / s) # d / (ds) F_

그래서 우리는 발견:

(0 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~~ -0.5316916199 #

이것은 음수이고 절대 값보다 작기 때문에 #1#, 고정 지점 #티# 안정적이다.

또한 0이 아닌 실제 값이 #에스# 우리는:

(0 + 1 / s) <0 # (1, 0, 1)

그건 # F_ (e, 1,0.1) (s) # 엄격하게 단조 감소하고있다.

금후 #티# 독특한 안정적인 고정 점입니다.

대답:

수축적인 행동.

설명:

와 #a = e # 과 #x = x_0 # 반복은 다음과 같습니다.

#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # 그리고 또한

#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #

반복 연산자에서 수축 조건을 조사해 봅시다.

양면 역행렬

(k-1)}) # e_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k}

그러나 첫 번째 근사치

(k-1)) (y_k-y_k-1)} (e_ { {(k-1)} + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #

또는

(k-1)} / (y-1)} 2 (b-y) y_k-y_ {k-1}) #

우리가 필요로하는 수축을 가지려면

#abs (y_k-1) -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #

이것은 달성된다.

(1) (1) (2) (1) (1) (1). 가정 #b> 0 # 과 #k = 1 # 우리는 가지고있다.

# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #

그래서 주어진 # x_0 # 과 #비# 이 관계는 우리가 수렴 행동 (equractive behavior) 하에서 초기 반복을 발견 할 수있게한다.