F (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2의 최소값은?

#f (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 #

(3y) ^ 2 + (2y) ^ 2-2 * (2y) * 1 + 1 ^ 2-3 #

f (x, y) = (x-3y) ^ 2 + (2y-1) ^ 2-3 #

각 제곱 된 표현식의 최소값은 0이어야합니다.

그래서 # f (x, y) _ "min"= - 3 #

대답:

상대 최소값은 다음과 같습니다. #(3/2,1/2)# 과 #f (3 / 2,1 / 2) = - 3 #

설명:

나는 부분 파생물을 계산해야한다고 생각합니다.

이리, #f (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 #

첫 번째 부분 파생물은

# (delf) / (delx) = 2x-6y #

# (delf) / (dely) = 26y-6x-4 #

중요한 포인트는

# {(2x-6y = 0), (26y-6x-4 = 0):}

#<=>#, # {(3y = x), (26y-6 * 3y-4 = 0):} #

#<=>#, # {(3y = x), (8y = 4):} #

#<=>#, # {(x = 3 / 2), (y = 1 / 2):} #

두 번째 부분 파생물은

# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #

# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 26 #

# (del ^ 2f) / (delxdely) = - 6 #

# (del ^ 2f) / (delydelx) = - 6 #

헤센 행렬의 행렬식은 다음과 같습니다.

(del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (dely ^ 2),) / (delydelx)) | #

#=|(2,-6),(-6,26)|#

#=52-36#

#=16>0#

같이 #D (x, y)> 0 #

과

# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2> 0 #

상대 최소값은 다음과 같습니다. #(3/2,1/2)#

과

(3 / 2,1 / 2) = 1.5 ^ 2 + 13 * 0.5 ^ 2-6 * 1.5 * 0.5-4 * 0.5-2 = -3 #