초점이있는 포물선의 방정식 (-15, -19)과 y = -8의 직선은 무엇입니까?

대답:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27 / 2 #

설명:

directrix는 수평선이기 때문에 포물선이 수직으로 향하게됩니다 (위쪽 또는 아래쪽으로 열림). 지시선 (-8) 아래의 초점 (-19)의 y 좌표 때문에 포물선이 아래로 열리는 것을 알 수 있습니다. 이 유형의 포물선에 대한 방정식의 정점 형태는 다음과 같습니다.

# 1 = 1 / (4f) (x - h) ^ 2 + k "1"#

여기서 h는 정점의 x 좌표이고, k는 정점의 y 좌표이며, 초점 거리 f는 directrix에서 초점까지의 부호있는 거리의 절반입니다.

#f = (y _ ("focus") - y _ ("directrix")) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

정점의 y 좌표 k는 f에 directrix의 y 좌표를 더한 값입니다.

# k = f + y _ ("directrix") #

#k = -11 / 2 + -8 #

#k = (-27) / 2 #

정점의 x 좌표 h는 초점의 x 좌표와 같습니다.

#h = -15 #

이 값을 방정식 1에 대입하면 다음과 같습니다.

1 / (4 (-11 / 2)) (x-15) ^ 2 + (-27) / 2 #

조금 단순화:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27 / 2 #

대답:

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

설명:

포물선은 점의 궤적이며,이 점은 directix라고 불리는 선으로부터의 거리와 focus라고하는 점이 동일하도록 움직입니다.

우리는 두 점 사이의 거리 # (x_1, y_1) # 과 # x_2, y_2) # 에 의해 주어진다 #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # 과

점 사이의 거리 # (x_1, y_1) # 와 선 # ax + by + c = 0 # ~이다. # | ax_1 + by_1 + c | / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

지금 점의 거리 # (x, y) # 초점에서 포물선에 #(-15,-19)# ~이다. #sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) #

그리고 그 지시선으로부터의 거리 # y = -8 # 또는 # y + 8 = 0 # ~이다. # | y + 8 | / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) = | y + 8 | #

따라서 포물선 방정식은

#sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) = | y + 8 | # 또는

# (x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = (y + 8) ^ 2 # 또는

# x ^ 2 + 30x + 225 + y ^ 2 + 38y + 361 = y ^ 2 + 16y + 64 # 또는

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

그래프 {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56.5, 23.5, -35.28, 4.72}