두 위성 P_ "1"과 P_ "2"는 반경 R과 4R의 궤도를 선회하고있다. P_ "1"과 P_ "2"를 연결하는 선의 최대 및 최소 각속도의 비율은 ??

대답:

#-9/5#

설명:

케플러의 세 번째 법칙에 따르면, # T ^ 2 propto R ^ 3은 오메가가 R ^ {- 3/2} #, 외부 위성의 각속도가 #오메가#, 내면의 #omega times (1/4) ^ {- 3/2} = 8 오메가 #.

우리가 고려하자. # t = 0 # 두 위성이 어머니 행성과 동일 선상에있을 때 즉각적으로, 그리고이 공통 선을 #엑스# 중심선. 그런 다음 시간에 두 행성의 좌표 #티# 아르 # (R cos (8ωωt), R sin (8ωωt)) # 과 # (4R cos (ωt), 4Rsin (ωt)) #로 나타났다.

방해 # theta # 두 위성을 연결하는 선이 #엑스# 중심선. 그걸보기는 쉽다.

#tanθ = (4Rsin (ωt) -Rsin (8ωt)) / (4Rcos (ωt) -Rcos (8ωt)) = (4sin (ωt)) / (4cos (ωt) -cos (8ωt)) #

차별화 수율

dt = d / dt (4sin (ωt) - sin (8ωt)) / (4cos (ωt) -cos (8ωt)) #

# = (4cos (ωt) -cos (8ωt)) ^ - 2 번 #

#qquad (4cos (ωt) -cos (8ωt)) (4ωcos (ωt) -8omegacos

# ωquad (4sin (ωt) -sin (8ωt)) (- 4ωsin (ωt) + 8ωsin (8ωt))

그러므로

(4ω (t) -sin (8ωωt)) / (4cos (ωt) -cos (8ωt)) ^ 2 1 + t))) ^ 2 (dθ) / dt #

ω = ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω =

#qquad qquad + (4sin ^ 2 (ωt) -9sin (ωt) cos (8ωt) + 2sin ^ 2 (ωt))

# = 4 오메가 6-9cos (7 오메가 t)는 #

# (17-ωcos (7ωt)) (dθ) / dt = 12 오메가 (2-3cos (7ωt)

# (dθ) / dt = 12 오메가 (2-3 cos (7ωt)) / (17 -8cos (7ωt)) equiv 12 오메가 f (cos (7ωt)) #

함수가 어디에

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

파생 상품을 가지고있다.

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

따라서 인터벌에서 단조 감소하고있다 #-1,1#.

따라서, 각속도 # (dθ) / dt # 최대 일 때 #cos (7 오메가) # 최소값이며, 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

그래서, # ((dθ) / dt) _ "최대"= 12 오메가 (2 - 3 번 (-1)) / (17-8 번 (-1)) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 오메가 번 5/25 = 12/5 오메가 #

# ((d 세타) / dt) _ "min"= 12 오메가 (2 - 3 번 1) / (17-8 번 1) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 오메가 (-1) / 9 = -4/3 오메가 #

따라서이 둘 사이의 비율은 다음과 같습니다.

# 12 / 5 오메가: -4/3 오메가 = -9: 5 #

노트 사실 그 # (dθ) / dt # 사인 변화는 소위 명백한 역행 운동의 원인이다.