대답:
시간에 커패시터에 저장된 에너지 #티# 우리는 E (t) == E (0) exp (-2t / (CR)) # 어디에 #E (0) # 초기 에너지, #기음# 수용력과 #아르 자형# 커패시터의 양면을 연결하는 와이어의 저항.
설명:
이 질문에 답하기 전에 몇 가지 핵심 개념을 먼저 살펴 보겠습니다. 물론 커패시터에 저장된 에너지 또는 오히려 커패시터에 저장된 전하에 의해 생성 된 전기장에 저장된 에너지를 알아야합니다. 이것을 위해 우리는 공식을 가지고있다. # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # 와 #기음# 커패시터의 용량 및 #큐# 상기 전하는 커패시터 플레이트들 중 하나에 저장된다. 1
따라서 에너지가 어떻게 감소 하는지를 알기 위해서는 요금이 어떻게 감소 하는지를 알아야합니다. 이를 위해 우리가 염두에 두어야 할 몇 가지 사항이 있습니다. 첫 번째 일은 어디서나 갈 수있는 경우에만 요금이 감소 할 수 있다는 것입니다. 가장 간단한 시나리오는 두 플레이트가 와이어를 통해 연결되어 플레이트가 중성이되도록 전하는 교환이 가능하다는 것입니다. 두 번째로 우리가 전선에 저항이 없다고 가정한다면, 전하가 즉각적으로 움직일 수 있기 때문에 에너지는 그 속도에서도 0으로 떨어질 것입니다. 이것은 지루한 상황이며, 실제로는 현실적이지 않기 때문에, 우리는 어떤 저항을 가지고 있다고 가정합니다 #아르 자형#, 커패시터 플레이트를 저항이있는 저항을 통해 연결하여 모델링 할 수 있습니다 #아르 자형# 저항이없는 전선을 사용합니다.
지금 우리가 가지고있는 것은 RC 회로라고 불리는 것입니다. 저장된 요금이 어떻게 변하는 지 알아 내기 위해 미분 방정식을 써야합니다. 독자가 수학 능력이 얼마나 능숙한 지 확신 할 수 없으므로 다음 섹션이 명확하지 않은 경우 알려 주시면 자세히 설명 드리겠습니다.
우선 우리는 와이어를 따라 걸을 때, 커패시터와 레지스터에서 두 전위 인 전위 (전압)를 경험한다는 점에 유의하십시오. 이 점프는 # DeltaV_C = Q / C # 과 # DeltaV_R = IR # 각각 1. 처음에는 전류가 없으므로 저항에 대한 전위차는 0이지만, 요금이 움직이기 시작하면 전류가 흐를 것입니다. 이제 우리는 한 지점에서 시작하여 회로를 돌아 다닐 때 우리는 회로에 있기 때문에 같은 지점에서 다시 끝납니다. 이 단일 지점에서 잠재력은 동일한 시점이기 때문에 두 번 모두 동일합니다. (우리가 회로를 따라 걷다 보니, 문자 그대로는 아니며, 한 지점에서 전압 점프를 검사하기 때문에 회로를 따라 걸을 때 시간이 없으므로 인수가 유지됩니다. 전압은 시간에 따라 변합니다.)
이것은 총 전위 점프가 0임을 의미합니다. 그래서 # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + Q / C #. 이제 우리는 #나는#, 현재입니다. 현재는 움직이는 전하이며 한 커패시터 판에서 양전하를 빼앗아 다른 쪽 커패시터 판에 전달합니다. (사실 대부분의 경우 다른 방향이지만,이 문제의 수학에 대해서는 중요하지 않습니다.) 즉, 현재는 플레이트에서 차지하는 변화와 같습니다. 즉, # I = (dQ) / dt #. 위 식에서 이것을 대입하면 # (dQ) / dtR + Q / C = 0 #, 이는 # (dQ) / dt = -Q / (CR) #. 이것은 일차 선형 미분 방정식입니다. 그 시간에 청구 금액의 변화를 선형 방식으로 나타냅니다. 즉, 청구 금액이 두 배나 크면 요금 변경이 두 배 더 커집니다. 우리는 미적분을 영리하게 사용하여이 방정식을 풀 수 있습니다.
# (dQ) / dt = -Q / (CR) #, 우리는 추정하다 # Qne0 #, 그것은 처음에는 아니며, 그것이 나올 때까지 결코 존재하지 않을 것입니다. 이것을 사용하여 우리는 말할 수있다. # 1 / Q (dQ) / dt = -1 / (CR) #. 알기 #큐# 어느 시점에서 #티# (다른 말로 # Q (t) #방정식을 다음과 같이 통합합니다. dt '= int_0 ^ t-1 / (CR) dt'= - t / (CR) # (1) 여기서, 이후 #기음# 과 #아르 자형# 상수입니다. (Q (t)) / Q = ln ((Q (t))) / (dt ' Q (t)) / (Q (0))) 변수의 변경을 통해. 이것은 #ln (Q (t)) / (Q (0))) = - t / (CR) #, 그래서 Q (t) = Q (0) exp (-t / (CR)) #.
마지막으로 우리는 에너지의 방정식으로 이것을 대체 할 필요가 있습니다.
C (t) = 1 / 2 (Q (t) ^ 2) / C = 1 / 2 (Q (0) ^ 2) / Cexp (-2t / (CR)) = E (0) exp / (CR)) #.
따라서 에너지는 시간이 지남에 따라 기하 급수적으로 떨어집니다. 실제로 우리는 if #아르 자형# 제로가 될 것이고, #E (t) # 즉시 0이 될 것입니다.
1 그리피스, David J. 전기 역학 소개. 넷째 판. Pearson Education Limited, 2014
