RR이 실수의 집합을 나타냅니다. 모든 x, y에 대해 abs (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y)를 만족하는 모든 함수 f : RR-> RR을 찾는다.

RR이 실수의 집합을 나타냅니다. 모든 x, y에 대해 abs (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y)를 만족하는 모든 함수 f : RR-> RR을 찾는다.
Anonim

대답:

#f (x) = pm 2 x + C_0 #

설명:

만약 #abs (f (x) -f (y)) = 2abs (x-y) # 그때 #f (x) # Lipschitz가 계속됩니다. 그래서 함수 #f (x) # 분화가 가능합니다. 그런 다음, #abs (f (x) -f (y)) / (abs (x-y)) = 2 # 또는

#abs ((f (x) -f (y)) / (x-y)) = 2 # 지금

(x-y) = abs (lim_ (x-> y) (f (x) -f (y)) / (xy)) = abs (f '(y)) = 2 #

그래서

#f (x) = pm 2 x + C_0 #