숫자를 삼각 형태로 변환하면됩니다.
# z = sqrt (3) -i = 2 cos (-pi / 6) + isin (-pi / 6) #
이 번호의 큐브 루트는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
# z ^ (1/3) #
이제 이것을 염두에두고 삼각 함수 형태로 복소수의 n 승에 대한 수식을 사용합니다.
# z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + isin (ntheta) # 주는:
(1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 6 * 1 / 3) + isin (-pi / 6 * 1 / 3) =
# = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 18) + isin (-pi / 18) #
어떤 직사각형입니다: # 4.2-0.7i #
Gió의 답변에 완전히 동의 할 수 없습니다. 불완전하고 (형식적으로) 잘못 되었기 때문입니다.
공식적인 오류는 De Moivre의 수식 정수가 아닌 지수를 사용합니다. De Moivre의 수식은 정수 지수에만 적용 할 수 있습니다. 이것에 대한 자세한 내용은 Wikipedia의 페이지에서
여기에서 수식의 부분 확장을 찾아서 처리 할 수 있습니다. #엔#- 뿌리 (그것은 여분의 매개 변수를 포함한다. #케이#): 만약 # z = r (cosθ + sinθ) #, 그 다음에
(θ + 2kπ) / n) = cos ((θ + 2π)) / sin (θ + 2π) 어디에 # k = 0, …, n-1 #.
하나 (그리고 어떤면에서는 그만큼) 복소수의 매우 기본적인 성질은 #엔#- 뿌리가 … #엔# 뿌리 (솔루션)! 매개 변수 #케이# (사이에 다릅니다 #0# 과 # n-1 #, 그래서 #엔# 값)을 사용하면 단일 수식으로 요약 할 수 있습니다.
따라서 큐브의 뿌리에는 세 가지 솔루션이 있으며 그 중 하나만 있으면 충분하지 않습니다. 단지 "#1/3# 솔루션의 ".
나는 아래에 나의 해결책 제안을 쓸 것이다. 의견 환영합니다!
Gió가 올바르게 제안했듯이 첫 번째 단계는 # z = sqrt {3} -i # 삼각 함수 형태로 #r (cosθ + sinθ) #. 뿌리를 다룰 때, 삼각 함수 형식은 (거의) 항상 유용한 도구입니다 (지수 함수와 함께). 너는 얻는다:
(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 # sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}
# theta = arctan (y / x) = arctan (-1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #
그래서 (cosθ-sinθ) = 2 (cos (-pi / 6) + sin (-pi / 6)) #
이제 당신은 뿌리를 계산하고 싶습니다. 위에 공식에 의해, 우리는 얻는다:
(θ + 2kπ) / 3)) = 2 ^ {1 / (3π) / 3} 3) (cos ((-pi / 6 + 2kπ) / 3) + sin ((-pi / 6 + 2kπ) / 3)
어디에 # k = 0, 1, 2 #. 그래서 세 가지 다른 값이 있습니다. #케이# (#0#, #1# 과 #2#) 3 개의 다른 복잡한 뿌리를 낳는다. #지#:
cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + sin ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-pi / 18) + sin (-pi / 18)) #
1 / 3) = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2π) / 3) + sin (cos (-11/18π) + sin (-11 / 18π)) #
(1-π / 6 + 4π) / 3)) = 2 ^ {1/3} (1-π / 6 + 4π) (cos (-23 / 18π)) + sin (-23 / 18π)) #
# z_0 #, # z_1 # 과 # z_2 # 세 가지 솔루션입니다.
수식에 대한 기하학적 해석은 #엔# 뿌리는 복잡한 평면에 솔루션을 그리는 데 매우 유용합니다. 또한 플롯은 수식의 속성을 매우 잘 나타냅니다.
우선, 모든 솔루션이 동일한 거리를 가지고 있음을 알 수 있습니다. # r ^ {1 / n} # (이 예에서는 #2^{1/3}#). 그래서 그들은 모두 반경의 원주 위에 있습니다. # r ^ {1 / n} #. 이제 우리는 어디에 이 원주 위에 놓으십시오. 우리는 다음과 같은 방식으로 사인과 코사인의 주장을 다시 쓸 수 있습니다:
(π / n + (2π) / nk) + sin (θ / n + (2π) / nk)
"첫 번째"루트는 다음에 해당합니다. # k = 0 #:
(cos (theta / n) + sin (θ / n)) # z_0 = r ^ {1 / n}
다른 모든 뿌리는 각도를 더함으로써 얻을 수 있습니다. # (2pi) / n # 재귀 적으로 각도로 # theta / n # 첫 번째 루트를 기준으로 # z_0 #. 그래서 우리는 움직이고 있습니다. # z_0 # 회전에 의한 원주상의 # (2pi) / n # 라디안 (# (360 °) / n #). 따라서 점은 일반 점의 꼭짓점에 위치합니다. #엔#- 좋아. 그 중 하나를 감안할 때, 우리는 다른 것들을 찾을 수 있습니다.
우리의 경우:
파란색 각이
# theta / n = -pi / 18 # 마젠타 색은
# (2pi) / n = 2 / 3πi.
