음수의 대수는 무엇입니까?

음수의 대수는 실수로 정의되지 않습니다. 음수의 제곱근은 실수로 정의되지 않습니다. 음수의 로그를 찾을 것으로 예상되는 경우 대부분의 경우 "정의되지 않음"으로 충분합니다.

그것 ~이다. 그러나 하나를 평가할 수있는 대답은 복소수가 될 것입니다. (양식 번호 #a + bi #, 어디서 #i = sqrt (-1) #)

복소수에 익숙하고 편안하게 작업하는 것을 느낀다면 계속 읽어보십시오.

먼저, 일반적인 경우부터 시작합시다.

#log_b (-x) =? #

기본 변경 규칙을 사용하고 자연 로그로 변환하여 나중에 쉽게 작업 할 수 있습니다.

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

유의 사항 #ln (-x) # ~와 같은 것입니다. #ln (-1 * x) #. 로그의 덧셈 속성을 이용하여이 부분을 두 개의 개별 로그로 분리 할 수 있습니다.

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

이제 유일한 문제는 #ln (-1) # 입니다. 처음에는 평가하는 것이 불가능할 것 같지만, 우리를 도울 수있는 오일러의 정체성으로 알려진 꽤 유명한 방정식이 있습니다.

오일러의 정체성

# e ^ (ipi) = -1 #

이 결과는 사인과 코사인의 멱급수 확장에서 비롯됩니다. (내가 너무 깊이 설명하지는 않겠지 만, 관심이 있다면 조금 더 설명하는 멋진 페이지가있다.)

지금은 오일러의 정체성의 양측면의 자연 로그를 간단히 살펴 보겠습니다.

#ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

쉽게 한:

#ipi = ln (-1) #

이제 우리는 무엇을 알 수있게 되었습니까? #ln (-1) # 우리 방정식으로 대체 할 수 있습니다.

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

이제 음수 로그를 찾는 수식이 생겼습니다. 그래서 우리가 다음과 같은 것을 평가하고자한다면 # log_2 10 #, 우리는 간단히 몇 가지 값을 연결할 수 있습니다:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #