대답:
설명을 참조하십시오.
설명:
Heine의 기능 제한에 대한 정의에 따르면
#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #
#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #
그래서 함수가 가지고있는 것을 보여주기 위해 아니 ~에서 한계 # x_0 # 우리는 두 개의 시퀀스를 찾아야 만합니다. # {x_n} # 과 # {bar (x) _n} # 그런
#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} bar (x) _n = x_0 #
과
#lim_ {n -> + oo} f (x_n)! = lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) #
주어진 예에서 이러한 시퀀스는 다음과 같습니다.
# x_n = 1 / (2 ^ n) # 과 #bar (x) _n = 1 / (3 ^ n) #
두 시퀀스가 수렴 # x_0 = 0 #함수의 공식에 따르면 우리는 다음과 같은 것을 가지고있다:
#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)
모든 요소가 # x_n # 에있다 #1,1/2,1/4,…#
그리고 #bar (x) _n # 우리는:
#f (bar (x) _1) = f (1) = 2 #
그러나 모두를 위해 #n> = 2 # 우리는: #f (bar (x) _n) = 1 #
그래서 #n -> + oo # 우리는:
#lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) = 1 # (**)
두 시퀀스 모두 # x_0 = 0 #한계 (*)와 (**)는 아니 동등하므로 한도 #lim_ {x-> 0} f (x) # 존재하지 않는다.
QED
제한 정의는 Wikipedia에서 찾을 수 있습니다.
대답:
여기에는 한계가 있다는 정의의 부정을 사용하는 증거가 있습니다.
설명:
짧은 버전
#f (x) # 단일 번호에 접근 할 수 없다. #엘# 왜냐하면 #0#, 함수 #에프# 서로 다른 값을 취한다. #1#.
그래서 누군가가 무엇을 제안하든 #엘#, 포인트가있다. #엑스# 가까운 #0#, 어디서 #f (x) # 적어도 #1/2# 멀리 떨어져있는 단위 #엘#
긴 버전
#lim_ (xrarr0) f (x) # 존재하는 경우에만 존재한다.
숫자가있다. #엘# 그런 모든 것 #epsilon> 0 #, 이있다 #delta> 0 # 모든 사람에게 #엑스#, # 0 <abs (x) <델타 # 의미하다 #abs (f (x) -L) <ε #
이 부정은 다음과 같습니다.
#lim_ (xrarr0) f (x) # 경우에만 존재한다.
모든 숫자에 대해, #엘# 거기에 #epsilon> 0 #, 모든 사람들에게 #delta> 0 # 거기에 #엑스#, 그런 # 0 <abs (x) <델타 # 과 #abs (f (x) -L)> = 엡실론 #
주어진 숫자 #엘#, 나는 내버려 둘 것이다. #epsilon = 1 / 2 # (더 작은 # 엡실론 # 뿐만 아니라 작동합니다)
이제 긍정적 인 결과가 주어졌습니다. #델타#, 나는 거기에 #엑스# 와 # 0 <absx <delta # 과 #abs (f (x) -L)> = 1 / 2 # (리콜 #epsilon = 1 / 2 #)
주어진 긍정적 인 #델타#, 결국 # 1 / 2 ^ n <델타 # 그래서 # x_1 # 와 #f (x_1) = 2 #.
또한 요소가 있습니다. RR- {1, 1/2, 1/4,… } # 와 # 0 <x_2 <델타 # 과 #f (x_2) = 1 #
만약 #L <= (1/2) #, 그 다음에 #abs (f (x_1) -L)> = 1 / 2 #
만약 #L> = (1/2) #, 그 다음에 #abs (f (x_2) -L)> = 1 / 2 #
