이 합계를 계산하는 방법? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n

대답:

아래를 참조하십시오.

설명:

치고는 #abs x <1 #

(n = 1) ^ oo (-x) ^ n (1) ^ n (x-2) #

그러나 # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # 과

# 2 ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # 그때

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

대답:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # 언제 # | x | <1 #

설명:

먼저 계수의 일부를 작성합니다.

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … =

우리가 바라는 첫 번째 것은 계수입니다. #엑스# 시리즈를 곱하고 나누면 매우 쉽게 조정할 수 있습니다. #엑스#, 그래서 그들은 중요하지 않다). 우리는 그것들이 모두 2의 배수라는 것을 알기 때문에 2의 인자를 도출 할 수 있습니다.

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …) #

이 괄호 안의 계수는 이진수 계열의 힘으로 인식 할 수 있습니다. # 알파 = -3 #:

(α-1) (α-1)) / (2!) x ^ 2 + (α (α-1) (α-2)) / … #

# (1 + x) ^ -3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

괄호 안에있는 모든 용어의 지수는 우리가 방금 파생 한 시리즈에 비해 2 배 더 큽니다. 따라서 곱해야합니다 # x ^ 2 # 올바른 시리즈를 얻으려면:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

이것은 우리의 시리즈가 다음과 같은 (수렴 할 때) 것을 의미합니다:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

실수를하지 않았 음을 확인하기 위해 Binomial Series를 신속하게 사용하여 # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

(- 3) (- 4)) / (2!) x ^ 2 + ((- 3) (- 4) 5)) / (3!) x ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4!) / (2 * 2!) x ^ 2- (5!) / (2 * 3!) x ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2x ^ 2- (5 * 4) / 2x ^ 3 …) = #

이 패턴을 다음과 같이 설명 할 수 있습니다.

(n-1)) / 2x ^ (n-2) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) n-1) x ^ n #

첫 번째 학기가 #0#, 우리는 쓸 수있다:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n (n-1) x ^ n #

그것은 우리가 시작한 시리즈이며, 우리의 결과를 증명합니다.

이제는 수렴 간격을 알아내어 시리즈에 실제로 값이 있는지 확인해야합니다. 우리는 이항 시리즈의 수렴 조건을 살펴보고이 수열을 수렴 할 수 있습니다. # | x | <1 #